On the integration of some differential systems in finite form. (Q2586893)

\textit{Lappo-Danilewski} (Acad. Sci. URSS, Trav. Inst. math. Stekloff 8 (1936); JFM 62.1278.*) hat das Gaußsche Differentialsystem \[ Y=Y\biggl(\dfrac{U_1}{x-a_1}+\dfrac{U_2}{x-a_2}\biggr) \] (\(U_1, U_2, Y\) sind Matrizen) unter der Voraussetzung \[ [U_1[U_2U_1]]=0,\quad [U_2[U_2U_1]]=0,\tag{1} \] in der \([U_2U_1] = U_2U_1-U_1U_2\) bedeutet, integriert. Verf. leistet dasselbe für das allgemeinere System \[ Y'=Y(U_1\varphi_1(x)+U_2\varphi _2(x)),\tag{2} \] dessen für \(x = b\) verschwindende Integralmatrix lautet: \[ Y_b(x)=e^{U_1L_1(b|x)}\cdot e^{[U_2U_1]L_{21}(b|x)}\cdot e^{U_2L_2(b|x)}, \] worin \[ L_i(b|x)= \int \limits _b^x \varphi_i(t)dt\quad (i =1,2);\quad L_{21}(b|x) = \int\limits_b^xL_2(b|t)\varphi _1(t)dt \] bedeutet. -- Weiter untersucht Verf. die Form der Matrizen \(U_1, U_2\) die (1) erfüllen.