Again on the integration of the differential systems. (Q2586894)

Im Anschluß an Untersuchungen von \textit{J. A. Lappo-Danilewski} (Acad. Sci. URSS, Trav. Inst. math. Stekloff 8 (1936); JFM 62.1278.*) gibt Verf. die Lösungsmatrix \(Y\) der Matrizendifferentialgleichung \[ \dfrac{dY}{dx}=Y[U_1\varphi_1(x)+U_2\varphi_2(x)]\tag{1} \] im Falle, daß \[ [U_1[U_2U_1]]]=0 \] ist, an. Es möge definiert sein: \[ L_i(b|x) = \int\limits _b^x \varphi_i(t) dt, \] \[ L_{i_1i_2\cdots i_\nu} (b|x)=\int\limits_b^x L_{i_1i_2\cdots i_{\nu-1}}(b|t)\varphi _{i_\nu} (t)dt, \] \[ (i, i_1, \ldots, i_\nu =1,2) \] \[ f_n=[\underset{(n)}{U_2}[U_2\cdots [\underset{(2)}{U_2}[\underset{(1)}{U_2}U_1]]\cdots ]. \] Konvergiert dann die Reihe \(U_1L_1 (b|x) + f_1L_{21}(b| x) + f_2L_{221}(b|x)+ \cdots =Z\), so lautet die Lösung von (1): \[ Y=e^Z.e^{U_2L_2(b|x)}. \] Im Sonderfall \(f_{n+1} = 0\) bricht \(Z\) ab. Für \(n = 1\) ist darin die Lappo-Danilewskische Lösung des Gaußschen Differentialsystems enthalten.