Autofunzioni relative a sistemi differenziali contenenti una condizione quadratica in due punti. Nota preventiva. (Q2586920)

In der vorstehend besprochenen Arbeit ist Verf. auf Eigenwertprobleme der folgenden Form gestoßen: \[ (\theta u')' + \varrho\cdot (q' - a)u = 0 \] mit den Randbedingungen \[ [u(\theta u'+ \varrho qu)]_{x_1}^{x_2}\leqq 0\quad \text{oder\;\;\;\;(II)}\quad \geqq 0, \tag{I} \] \[ [\theta u'+ \varrho qu]_{x_1} =[\theta u' + \varrho qu]_{x_2}=0,\quad \text{oder} \tag{III} \] \[ u(x_1)=u(x_2)=0. \tag{IV} \] Hierin bedeutet \(\varrho\) den Eigenwert, \(\theta\), \(q\), \(a\) sind Funktionen in \(x\) der Klasse \(C'\) und \(\theta(x)\neq 0\) in \(x_1\leqq x \leqq x_2\). Ohne Beweis teilt Verf. mit, daß sich unendlichviele Strecken \(\varrho_i\leqq\varrho\leqq\bar\varrho_i\) mit \(\varrho_i\), \(\bar\varrho_i\to\pm\infty\) angeben lassen, so daß für die entsprechenden \(\varrho\)-Werte das Problem (I) bzw. (II) eine nicht identisch verschwindende Lösung besitzt; dabei sind \(\varrho_i\), \(\bar\varrho_i\) Eigenwerte der Aufgabe (IV) bzw. (III). Schließlich lassen sich genaue Bedingungen angeben, wann die Aufgabe (I) bzw. (II) mit Werten von \(\varrho\) im Intervall \(0\leqq\varrho\leqq1\) nicht identisch verschwindende Lösungen besitzt.