On expansions in Eigenfunctions. II, III. (Q2586925)

Teil I, J. London math. Soc. 14 (1939), 274-278; F. d. M. 65. Die Absicht ist, die Sätze über die Entwicklung einer Funktion nach den Eigenfunktionen einer gewöhnlichen Differentialgleichung (auch singuläre werden zugelassen) der Form \(L\psi = \lambda\psi\) nach folgendem Gesichtspunkt einheitlich zu erhalten. Man betrachte eine Lösung \(\psi(x,t)\) der partiellen Differentialgleichung \(L\psi = i\dfrac{\partial\psi}{\partial t}\), \(-\infty < t < +\infty\) und setze \[ \psi_+ (x, w) = \dfrac1{\sqrt{-\pi}} \int\limits_0^\infty \psi(x, t) e^{iwt} dt,\quad \psi_-(x, w) = \dfrac1{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^0 \psi(x, t) e^{iwt} dt. \] Dann wird \[ \psi(x, t) = \dfrac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{ia-\infty}^{ia+\infty} \psi_+(x, w) e^{-iwt} dw + \dfrac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{ib-\infty}^{ib+\infty} \psi_-(x, w) e^{-iwt} dw, \] wobei \(a\) eine geeignete positive, \(b\) eine geeignete negative Zahl ist. Für \(t = 0\) gehe \(\psi(x, t)\) in die vorgegebene Funktion \(\psi(x)\) über. Die gesuchte Entwicklung von \(\psi(x)\) ergibt sich direkt aus der Integraldarstellung für \(\psi(x, t)\), indem man \(t=0\) setzt und das Cauchysche Residuentheorem geeignet verwendet. Es ergibt sich \(\psi_+(x, w)\) als Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung \((L - w)\psi_+ = -\dfrac{i}{\sqrt{2\pi}} \psi_+(x)\) und entsprechend \(\psi_-(x, w)\). Nach diesem Programm werden die Entwicklungssätze für folgende Fälle hergeleitet: 1) \(L=\dfrac{d^2}{dx^2} + \operatorname{cotg} x\dfrac{d}{dx}\quad (0<x<\pi), \qquad\qquad\) 2) \(L = \dfrac{d^2}{dx^2} + x\quad (0 < x < \infty)\), 3) \(L = \dfrac{d^2}{dx^2} + \dfrac2x\dfrac{d}{dx} + \dfrac{c}{x}\dfrac{k(k+1)}{x^2}\quad (0<x<\infty)\), 4) \(L = i\dfrac{d}{dx}\quad (-\infty < x < \infty),\qquad\) 5) \(L = x\quad (-\infty < x < \infty)\), 6) \(L = \dfrac{d^2}{dx^2}-x^2\quad (-\infty<x<\infty)\).