Sur un problème relatif aux formes différentielles linéaires. (Q2586934)

\(P\), \(Q\), \(R\) seien Polynome in \(\varphi\) vom \(m\)-ten Grade, deren Koeffizienten Funktionen von \(x\), \(y\) sind. Verf. untersucht, unter welcher Bedingung die lineare Differentialform \(Rd\varphi- Pdx - Qdy\) einen Integrationsfaktor zuläßt oder mit anderen Worten ein Differential der Funktion \(F(x, y,\varphi) = C\) ist, wenn \(C\) eine Integrationskonstante bedeutet. Dann gilt für die Funktionen \(P\), \(Q\), \(R\) die bekannte notwendige und hinreichende Identität \(R\bigg(\dfrac{\partial P}{\partial y} \dfrac{\partial Q}{\partial x}\bigg) = P\bigg(\dfrac{\partial Q}{\partial \varphi} + \dfrac{\partial R}{\partial y}\bigg)-Q\bigg(\dfrac{\partial R}{\partial x} + \dfrac{\partial P}{\partial \varphi}\bigg)\). Die Koeffizienten der Potenzen von \(\varphi\) sind in dieser Identität gleich Null, so daß als gesuchte Bedingungen \(2m\) partielle lineare Differentialgleichungen von erster Ordnung mit \(3m\) Unbekannten entstehen, welche für die Lösung unzugänglich scheinen. -- Indem Verf. für R den Ausdruck \((\varphi - \varphi_1)\cdots(\varphi - \varphi_m)\) setzt und zuerst zur Vereinfachung die Beziehung \(dy - A(x, y)\varphi dz = 0\) annimmt, bekommt er aus der gegebenen annullierten Form die totale Differentialgleichung \[ d\varphi=\sum\dfrac{\mu_i\varTheta_i}{\varphi-\varphi_i}; \] damit er eine von einer Konstanten abhängige Lösung \(\varphi\) bekomme, findet er die Bedingungen für \(\varphi_i\), welche durch einfachere Differentialgleichungen ausgedrückt sind. -Zu ähnlichen Ergebnissen gelangt Verf. auch im allgemeinen Fall.