Sur la transformation des dérivées secondes dans les transformations de contact et les transformations ponctuelles. (Q2586968)

Verf. denkt sich ein beliebiges Element 2. Ordnung im Raume: \(x\), \(y\), \(z\), \(p\), \(q\), \(r\), \(s\), \(t\) durch die allgemeine Berührungstransformation dieses Raumes transformiert und bemerkt, daß dabei die Größen \(1\), \(r\), \(s\), \(t\), \(rt - s^2\), als Verhältnisgrößen \(x_1:x_2:\cdots:x_5\) aufgefaßt, linear und homogen transformiert werden. Es scheint ihm aber unbekannt zu sein, daß diese Verhältnisgrößen so dargestellt werden können: \[ x_1:x_2:\ldots:x_5= \begin{vmatrix} dp&dq\\ \delta p&\delta q\end{vmatrix}: \begin{vmatrix} dy&dp \\ \delta y&\delta p \end{vmatrix}: \begin{vmatrix} dy&dq \\\delta y &\delta q \end{vmatrix}: \begin{vmatrix} dq& dx\\\delta q &\delta x \end{vmatrix}: \begin{vmatrix} dx&dy \\\delta x &\delta y \end{vmatrix}, \] wo \(dx\),\dots, \(dq\); \(\delta x\),\dots, \(\delta q\) der Bedingung \(dx\,\delta p-dp\,\delta x+dy\,\delta q-dq\,\delta y=0\) unterworfen sind, und wo eine sechste Größe \(x_6=\begin{vmatrix} dx& dp\\ \delta x& \delta p\end{vmatrix}=-x_3\) hinzugefügt werden kann, so daß zwischen allen sechs Größen die Identität \(x_1x_5-x_6x_3-x_2x_4=0\) besteht. Die betreffende lineare homogene Transformation ist dann dadurch gekennzeichnet, daß diese beiden Gleichungen zwischen \(x_1\),\dots, \(x_{6}\) invariant bleiben, und läßt sich viel bequemer hinschreiben (vgl. \textit{O. Lier}, Diss. Greifswald 1909 (F. d. M. 40, 731 (JFM 40.0731.*)), S. 6-12). Man braucht nur z. B. in \(dp'\,\delta q'-dq'\,\delta p'\) die Größen \(x'\), \(y'\), \(z'\), \(p'\), \(q'\) durch ihre Ausdrücke in \(x\), \(y\), \(z\), \(p\), \(q\) zu ersetzen und mit Benutzung von \(dz = pdx + q\, dy\) die \(dp'\), \(dq'\) zu bilden und \(dp'\,\delta q' - dq'\,\delta p'\) nach den zweireihigen Determinanten \(x_{1}\),\dots, \(x_{5}\) zu entwickeln, nachdem man \(x_{6}\) durch \(- x_3\) und \(x_6'\) durch \(- x_3'\) ersetzt hat. Verf. stellt sich die Aufgabe, zu zeigen, daß jede Transformation \(x_i'=\sum c_{ik}x_k\) (\(i = 1\),\dots, 5), bei der die Gleichung \(x_1x_5+x_3^2-x_2x_4=0\) invariant bleibt, durch eine Berührungstransformation induziert wird. Er erweitert das Problem und betrachtet die Berührungstransformationen, die zwei fest gewählte Elemente \(x\), \(y\), \(z\), \(p\), \(q\) und \(x'\), \(y'\), \(z'\) \(p'\), \(q'\) untereinander vertauschen oder beide invariant lassen. Diese Transformationen bilden eine Gruppe \(G\), der eine Gruppe \(L\) von Transformationen \(x_i'=\sum c_{ik}x_k\) entspricht. Genauer ersetzt er \(G\) durch die invariante Untergruppe \(G_{0}\), bei der \(r\), \(s\), \(t\) einzeln invariant bleiben. Dann wird \(G/G_0\) isomorph zu \(L\). Er macht das zuerst für reelle Berührungstransformationen und dann für komplexe. Dabei stützt er sich auf seine Leçons d'algèbre et de géométrie III, Paris 1937 (JFM 63.0591.*), und es gelingt ihm, für jede der auftretenden Gruppen eine Basis aufzustellen, womit die Aufgabe, die er sich gestellt hat, erledigt ist.