On the gradient of solid harmonic polynomials. (Q2587015)

Ist \(U(r, \theta, \varphi )\) ein reelles harmonisches Polynom \(n\)-ten Grades, dessen Betrag in der Einheitskugel den Wert 1 nicht übersteigt, so ist daselbst für \(n\geqq 4\) \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(*)} \hfill |\,\text{grad}\,U\,| \leqq \varrho _n=2n\textstyle \sum\limits_{\nu =1}^{n}\dfrac{(-1)^{\nu -1}}{2\nu -1}-\dfrac{1-(-1)^n}{2}\cong\dfrac{n\pi }{2}.\hfill} \] Gleichheit gilt in den Polen \(r = 1\), \(\theta =0\), \(\pi \) für das einzige harmonische Polynom, welches durch \(U(1,\theta,\varphi )=\cos\, n\,\theta \) bestimmt ist. Für die Ableitung von \(U\) im Punkte \(r = 1\), \(\theta =0\) in der Richtung \(\theta =\alpha \), \(\varphi =\beta \) gibt Verf. die folgende Darstellung \[ \begin{gathered} \biggl[U_r'\cos\, \alpha +\frac{U_\theta '}{r}\sin\, \alpha\, \cos\, \beta +\frac{U_\varphi '}{r\,\sin\, \theta }\sin\, \alpha \,\sin\, \beta \biggr]_{\substack{ r=1\\ \;\theta \to0}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\;=\frac{1}{4\pi n}\int\limits_{-\pi }^{+\pi }R\textstyle \sum\limits_{k=0}^{2n-1}\displaystyle (-1)^kU\,\biggl(1, \frac{k\pi }{n}+\delta,\varphi '\biggr)M_n\,\biggl(\frac{k\pi }{n}+\delta \biggr)\,d\varphi ',\\ R=\sqrt{\varrho _n^2\cos^2\, \alpha +4n^2\,\sin^2\, \alpha \,\sin^2(\varphi -\varphi '+\beta )},\;\;\delta =\delta (\alpha,\beta ,\varphi,\varphi ',n)\;\;\qquad\qquad\qquad\qquad\\ \qquad\qquad\quad M_n(\theta )=1+2\textstyle \sum\limits_{\nu =1}^{n-1}\displaystyle \biggl[\frac{\varrho _{n-k}}{\varrho _n}\,\cos\, n\theta \,\cos\, (n-\nu )\,\theta +\frac{n-\nu }{n}\,\sin\, n\theta \,\sin\, (n-\nu )\,\theta \biggr],\end{gathered} \] woraus auf Grund der Positivität von \(M_n(\theta )\) die Ungleichung (*) bei der Annahme \(\varrho _n^2\geqq 2n^2\), d. h. \(n\geqq 4\) unmittelbar folgt. Für \(n = 2\), 3 wird die Abschätzung \(|\,\text{grad}\,U\,|\leqq \sqrt{2}\cdot n\) bewiesen.