Sur une généralisation du principe des singularités positives de M. Picard. (Q2587042)

Im \(m\)-dimensionalen Raume \(R_{m}\) seien \(a_{ij}\), \(b_i\), \(c\), \(f\) (\(i\), \(j = 1\),\dots, \(m\)) Funktionen des Punktes \(P(x_1,\dots, x_m)\); in \(O\) bilden die \(a_{ij}\) die Einheitsmatrix, und im übrigen sei ihre Determinante ständig 1; \(A_{ij}\) ist das algebraische Komplement von \(a_{ij}\) in \(||\,a_{ij}\,||\). Die Punkte \(Q(y_1,\dots, y_m)\), für die \(\sum\limits_{i,j}A_{ij}(P)\;(x_i-y_i)\;(x_j-y_j)<\varepsilon ^2\) ist, erfüllen das Gebiet \(\omega \), \(\sigma _m\) sei das Volumen der Einheitssphäre in \(R_{m}\). Betrachtet wird die verallgemeinerte elliptische Differentialgleichung \[ F(z)\equiv Ez+\textstyle \sum\displaystyle b_i\frac{\partial z}{\partial x_i}+cz=f\;\;\text{mit}\;\;Ez=\lim_{\varepsilon \to0}\,\frac{2m(m+2)}{\sigma _m}\int\limits_{\omega }\frac{z(Q)-z(P)}{\varepsilon ^{m+2}}\,d\omega (Q). \] Dabei sollen die \(a_{ij}\) innerhalb einer sphärischen Umgebung \(S\) von \(O\) einer Ungleichung \(|\,a_{ij}(Q_1)-a_{ij}(Q_2)\,|<h(d)\), \(d=\overline{Q_1Q_2}\) für alle \(Q_1\), \(Q_{2}\) unterworfen sein, wo \(h(0)=0\), \(h\) eine wachsende Funktion des Argumentes und \(h(r)\) \(r^{-1}\) von 0 ab summierbar ist; \(b_i\), \(c\), \(f\) seien in \(S - O\) stetig und für \(r=\overline{OP}\to0\) seien \(b_i=O(hr^{-1})\), \(c\), \(f=O(hr^{-2})\). Die Lösung \(z\) von \(F(z) = 0\) soll in \(S - O\) regulär, d. h. mit ihren ersten Ableitungen stetig sein und \(Ez\) überall in \(S - O\) einen Sinn haben. Dann gelten die folgenden Singularitätsaussagen: 1) Ist \(F(z) = 0\) und strebt \(zr^{m-2}\) mit \(r\to 0\) gleichmäßig gegen Null, so ist \(z\) in \(S\) beschränkt, dasselbe gilt für die Lösung von \(F(z)=f\), wenn in der Umgebung von \(O\) \(z\) und \(-f\) das gleiche feste Zeichen haben. 2) Gibt es zu jedem \(A>0\) in der Umgebung von \(O\) stets einen Punkt, wo \(z = A\) ist, und ist in \(S\) \(z>0\), so hat \(z\) die Form \(w\cdot r^{-m+2}\) mit in \(S\) stetigem positivem \(w\). 3) Ist \(zr^{m-2}\) in \(S\) beschränkt, ohne mit \(r\to 0\) gleichmäßig gegen Null zu streben, so hat \(z\) in der Umgebung von \(O\) ein festes Zeichen. Für die Beweismethoden vgl. zwei frühere Arbeiten des Verf. in C. R. Acad. Sci., Paris, 183, (1926), 544-546; Ann. sci. École norm. sup. (3) 52 (1935), 39-108 (F. d. M. 52, 482 (JFM 52.0482.*); 61\(_{\text{I}}\), 520).