Darstellung der Eigenwerte von \(\varDelta u + \lambda u = 0\) durch ein Randintegral. (Q2587050)

In einem Gebiet \(G\) mit dem Rand \(\varGamma\) sei \(u=u(x_1, \ldots \!, x_n)\) eine vermöge \(\int \int\limits_{G} \int u^2 \,d\tau=1\) normierte Eigenlösung der Differentialgleichung \(\varDelta u + \lambda u = 0\) bei der Randbedingung \(u=0\) auf \(\varGamma\). Dann läßt sich der zugehörige Eigenwert \(\lambda\) darstellen durch das Randintegral \[ \lambda=\tfrac{1}{4} \int \int\limits_{\varGamma} \left( \frac{\partial u}{\partial \nu} \right)^2 \, \frac{\partial (r^2)}{\partial \nu} \,d \varOmega \] (\(d\tau\) Volumelement in \(G\), \(d \varOmega\) Oberflächenelement auf \(\varGamma\), \(\dfrac{\partial}{\partial \nu}\) Differentiation nach der äußeren Normalen von \(\varGamma\), \(r^2=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\)). Beweis auf Grund des Dirichletschen Prinzips. Die gewonnene Darstellung entspricht ganz jener des Flächeninhalts einer von einer geschlossenen Raumkurve begrenzten Minimalfläche durch ein Randintegral nach H. A. Schwarz.