The fundamental solution of the parabolic equation. (Q2587057)

Verf. bestimmt die Fundamentallösung \(\varGamma(x, \,y; \,\xi, \,\eta)\) der parabolischen Differentialgleichung \[ Lu \equiv \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}+ \sum_{i=1}^{n} a_{i} \frac{\partial u}{\partial x_i}+au\frac{\partial u}{\partial y}=0, \tag{1} \] in der die Funktionen \(a\), \(a_i\), \(\dfrac{\partial a_{ij}}{\partial y}\), \(\dfrac{\partial^2 a_{ij}}{\partial x_k \partial x_l}\) in einem durch den Rand \(R'\) abgeschlossenen Gebiet \(R\) des \(x_1, \ldots \!, x_n\)-Raumes und für \(\eta \leqq y\leqq \eta'\) einer Lipschitzbedingung der Ordnung \(\gamma\) \((0 < \gamma \leqq 1)\) genügen und \(\sum\limits_{i,j=1}^{n} a_{ij} \xi_i \xi_j\) \((a_{ij}=a_{ji})\) eine positiv-definite Form bezeichnet. \(\varGamma\) hat folgende Eigenschaften: 1) Für \(x\), \(\xi \in R\) und \(y > \eta\) ist \(\varGamma\) eine reguläre Lösung von (1); 2) ist \(\varphi(x)\) in \(R + R'\) stetig, \(T\) ein Teilgebiet von \(R\), so gilt: \[ \lim_{y \to \eta} \int\limits_{T} \varGamma(x, \,y; \,\xi, \,\eta) \, \varphi(\xi) \,d\xi=\left\{ \begin{aligned} \varphi(x), \;\; \text{falls} \;\; & x \in T\\ \;\; 0 \;\;, \quad,, \quad & x \in R-T. \end{aligned} \right. \] Zur Konstruktion von \(\varGamma\) wird zunächst eine Funktion \(Z(x, \,y; \,\xi, \,\eta)\) aufgebaut, die analog der Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung gebaut ist. Es bezeichne \(A_{ij}\) das durch \(\|\,a_{ij}\,\|\) dividierte algebraische Komplement von \(a_{ij}\), \[ \sigma(x, \,y; \,\xi)=\sum_{i,j=1}^{n} A_{ij} \xi_i \xi_j, \] \[ U(x, \,y; \,\xi, \,s)=\left\{ \begin{aligned} & 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \, \text{für} \;\; s \leqq 0,\\ & s^{-\frac{n}{2}} \cdot \exp \left( -\dfrac{\sigma(x, \,y; \,\xi)}{4s} \right) \quad,, \;\; s>0. \end{aligned} \right. \] Nach Einführung von Polarkoordinaten mittels \[ \begin{aligned} & \xi_1 \;\; -x_1=r \,\cos \,\theta_1, \;\; \xi_2-x_2=r \,\sin \,\theta_1 \, \cos \,\theta_2, \ldots \\ & \xi_{n-1}-x_{n-1}=r \,\sin \,\theta_1 \cdots \sin \,\theta_{n-2} \, \cos \,\theta_{n-1}, \;\; \xi_n-x_n=r\,\sin \,\theta_1 \cdots \sin \,\theta_{n-1} \end{aligned} \] werde gesetzt: \[ \begin{aligned} \sigma(x, \,y; \,x-\xi) & =r^2 \varphi(x, \,y; \,\theta),\\ H(\theta) & =\sin^{n-2} \theta_1 \,\sin^{n-3} \theta_2 \cdots \sin \,\theta_{n-2}, \end{aligned} \] \[ F(x, \,y)=2^n \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \cdots \int\limits_{0}^{\pi} \varphi(x, \,y; \theta)^{-\frac{n}{2}} H(\theta) \, d\theta_1 \cdots d\theta_{n-1} \cdot \int\limits_{0}^{\infty} w^{n-1} \cdot \exp (-w^2) \,dw; \] dann ist: \[ Z(x, \,y; \,\xi, \,\eta)=F(\xi, \,\eta)^{-1} \cdot U(x, \,y; \,x-\xi, \,y-\eta). \] Für \(\varGamma\) macht man dann den Ansatz \[ \varGamma(x, \,y; \,\xi, \,\eta)=Z(x, \,y; \,\xi, \,\eta)+ \int\limits_{\eta}^{y} \int\limits_{R} Z(x, \,y; \,s, \,t) \, f(s, \,t; \,\xi, \,\eta) \,ds \,dt \] und erhält \(f\) als Lösung der Integralgleichung \[ f(x, \,y; \,\xi, \,\eta)=LZ(x, \,y; \,\xi, \,\eta)+ \int\limits_{\eta}^{y} \int\limits_{R} LZ(x, \,y; \,s, \,t) \, f(s, \,t; \,\xi, \,\eta) \,ds \,dt, \] die durch die Neumannsche Reihe ermittelt werden kann.