Generalized curves. (Q2587096)

Der vor einiger Zeit durch \textit{L. C. Young} (vgl. insbesondere C. R. Soc. Sci. Lett. Varsovie, III 30 (1937), 212-234; F.~d.~M. 63\(_{\text{II}}\), 1064) eingeführte Begriff der ``verallgemeinerten Kurve'' wird vom Verf. einer Behandlung der Existenztheoreme bei den Aufgaben der Variationsrechnung mit einfachen Integralen zugrundegelegt. Der vorliegende erste Teil bringt die Definition der ``verallgemeinerten Kurven'' \(C^{*}\), die sich inhaltlich mit der von L. C. Young deckt, ferner die Ausdehnung eines Integrals \(I\) mit ersten Ableitungen (in Parameterform) auf die Klasse \(C^{*}\), den Beweis der Stetigkeit von \(I(C^{*})\) auf der Klasse der rektifizierbaren verallgemeinerten Kurven und den Satz, daß die Menge der verallgemeinerten Kurven, die in einer beschränkten Menge liegen, und deren Längen gleichmäßig beschränkt sind, kompakt ist. Damit ist der Beweis für die Existenz eines Minimums von \(I(C^{*})\) auf einer geeigneten Unterklasse aller \(C^{*}\) ermöglicht. Die Existenzsätze umfassen auch Fälle mit isoperimetrischen und differentiellen Nebenbedingungen. Verf. formuliert auch Bedingungen, welche garantieren, daß das Minimum von \(I(C^{*})\) auf einer gewöhnlichen Kurve erreicht wird. Den Schluß bildet die Metrisierung des Raumes der \(C^{*}\). In zwei weiteren Arbeiten will Verf. die Theorie zum Abschluß bringen (vgl. die nachstehend besprochene Arbeit).