Homogene Funktionen auf der Grassmannschen Mannigfaltigkeit. (Q2587102)

Verf. knüpft an die von \textit{Sakellariou} (Mh. Math. Physik 48 (1939), 314-321; F.~d.~M. 65, 451) behandelte Variationsaufgabe an und bemerkt, daß durch den Verlauf der Grundfunktion \(F(p^{ik})\) auf der Graßmannschen Mannigfaltigkeit die Ableitungen \(\partial F/ \partial p^{ik}\) nicht voll bestimmt sind. Sie lassen sich, wie er zeigt, -- auch in den Eulerschen Differentialgleichungen -- durch die Größen ersetzen \[ u^{ik}=2F^{-1} \,F_{i \mu} F_{k \nu} p^{\mu \nu} \quad (\text{über doppelt auftretende Zeiger summieren}!), \] in denen \(F_{ij}\) die Ableitung von \(F\) nach \(p^{ij}\) bedeutet, nachdem man \(p^{ij}\) in \(F\) durch \((p^{ij}-p^{ji})/2\) ersetzt hat. Im besonderen erfüllen die \(u^{ik}\) eine Gleichung, die aus der der Funktion \(F\) zunächst auferlegten Einschränkung \[ \frac{\partial F}{\partial p^{ik}} \,\frac{\partial F}{\partial p^{lm}}+ \frac{\partial F}{\partial p^{il}} \,\frac{\partial F}{\partial p^{mk}}+ \frac{\partial F}{\partial p^{im}} \,\frac{\partial F}{\partial p^{kl}}=0 \;\; (i, \,k, \,l, \,m=1, \ldots \!,n) \tag{1} \] beim Ersatz von \(\partial F/ \partial p^{ik}\) durch \(u^{ik}\) entsteht. -- Ref. weist darauf hin, daß \textit{H. Gericke} den früher von Verf. für \(n = 4\) geführten Nachweis der Entbehrlichkeit von (1) auf beliebige \(n\) übertragen hat (Math. Z. 46 (1940), 408-459 (F.~d.~M. 66, Differentialgeometrie), insbesondere 431).