Harmonic surfaces in Riemann metric. (Q2587124)

Verf. betrachtet in einem Riemannschen Raum mit der durch \(ds^2 = g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}\) definierten Metrik das zweidimensionale Variationsproblem \[ \iint g_{\mu \nu} \left( \frac{\partial x^{\mu}}{\partial u} \, \frac{\partial x^{\nu}}{\partial u}+ \frac{\partial x^{\mu}}{\partial v} \, \frac{\partial x^{\nu}}{\partial v} \right) \,du \,dv=\, \min. \] und nennt eine Lösung seiner Eulerschen Gleichungen \[ \varDelta x^{\lambda}+\varGamma_{\mu \nu}^{\lambda} \left( \frac{\partial x^{\mu}}{\partial u} \, \frac{\partial x^{\nu}}{\partial u}+ \frac{\partial x^{\mu}}{\partial v} \, \frac{\partial x^{\nu}}{\partial v} \right)=0 \] eine harmonische Fläche. Die Koeffizienten des quadrierten Bogenelementes \(ds^2 = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2\) der Lösungsfläche genügen den Gleichungen \[ \varDelta E=\varDelta G, \;\; \varDelta F=0, \] die sich im Falle nichtpositiver Krümmung des Raumes durch die Beziehungen \(\varDelta E \geqq 0\), \(\varDelta G \geqq 0\) verschärfen lassen. Auch die Flächenkrümmung ist in diesem Falle nichtpositiv. Durch verschiedene Betrachtungen über die geodätische Entfernung und Abschätzungen gelangt Verf. in genügend kleinen Bereichen zur Existenz derartiger Flächen mit beliebiger zweimal stetig differenzierbarer Randkurve.