Über eine Gleichung der wirklichen Dielektrika. (Q2587154)

Die Potentialdifferenz \(U (t)\) eines Kondensators erfüllt während der Entladungsperiode die Integrodifferentialgleichung \[ C\frac{dU}{dt} + \frac UR + \int\limits_0^t\varphi(t-\tau) \frac{dU}{d\tau}\, d\tau + i(t)=0 \tag{1} \] mit gegebenen Funktionen \(\varphi\), \(i\) und Konstanten \(C\), \(R\); \(U(0)\) ist bekannt. Setzt man \[ \begin{gathered} K(x-t)=-\frac1C\left(\frac1R+ \varphi(x-t)\right),\\ F (x) =U(0) + \frac1C U(0) \int\limits_0^x \varphi(t)\,dt \frac1C\int\limits_0^x i(t)\, dt, \end{gathered} \] so ist (1) gleichbedeutend mit der Volterraschen Integralgleichung \[ U (x) = F (x) + \int\limits_0^x K(x - t) U (t)\, dt, \tag{2} \] die Verf. in bekannter Weise durch Laplace-Transformationen lösen. Sind \(k (z)\), \(f (z)\) die Laplacetransformierten von \(K(x)\), \(F(x)\), so folgt hiernach: \[ U(t) = \frac1{2\pi i}\int\limits_{a-i\infty}^{a+i\infty} e^{tz} \frac{f(z)}{1-k(z)}\,dz. \tag{3} \] Nun berechnen Verf. mit diesen Formeln den Ausdruck für \(U (t)\), wenn speziell \(\varphi(x) = \beta x^{-\alpha}\), \(i (t) = \pm \beta U_0(t + t_0)^{-\alpha}\), \(0 <\alpha < 1\) und \(\frac1R = 0\) genommen wird. Mittels einer in üblicher Weise erklärten Greenschen Funktion \(G\) kann die Lösung von (1) auch in die Gestalt \[ U(t)= \int\limits_0^t G(t - \tau) F(\tau)\,d\tau \] gebracht werden. Es folgen Verallgemeinerungen der Rechnungen auf den Fall, daß an die Stelle des ersten Summanden in (1) ein Ausdruck \(\sum\limits_{\nu=1}^n A_\nu \dfrac{d^\nu U}{dt^\nu}\) mit festen \(A_\nu\) tritt.