Remarques sur l'équation intégro-différentielle de Boltzmann. (Q2587156)

Die Boltzmannsche Gleichung für die Funktion \(F\) lautet: \[ \frac{\partial F}{\partial t} + u\frac{\partial F}{\partial x} + v\frac{\partial F}{\partial y} + w\frac{\partial F}{\partial z} + X\frac{\partial F}{\partial u} + Y\frac{\partial F}{\partial v} + Z\frac{\partial F}{\partial w} = T[F] \] (\(T\) ein quadratisches Funktional). Es mögen sich \(X\), \(Y\), \(Z\) von einem Potential \(U\) herleiten und \(F\) von \(u\), \(v\), \(w\) nur durch Vermittlung von \(r^2 = u^2 + v^2 + w^2\) abhängen. Dann gelten folgende Sätze (ohne Beweise): 1) Jede Lösung ist von der Form \(F(\varphi,t)\) \(\left(\varphi = \dfrac12 r^2 -U\right)\). 2) Ist \(f (\varphi)\) für \(0 \leqq r < \infty\) und \(U_0\leqq U\leqq U_1\) stetig, und gilt \(0 \leqq f(\varphi) \leqq \dfrac a{(1+r)^\alpha}\) (\(\alpha > 6\)), so existiert eine einzige, für positive \(r\) und \(t\) stetige Lösung \(F (\varphi, t)\) mit \(F (\varphi, 0) = f(\varphi)\) und \(0 \leqq F(\varphi, t) < \dfrac C{(1+r)^\alpha}\) (\(a\), \(C\) konst.).