Sur l'équation intégrodifférentielle de Boltzmann. (Q2587157)

\textit{Carleman} (Acta math., Uppsala, 60 (1933), 96-146 (F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 404), 133) hat die Existenz einer eindeutigen Lösung der Gleichung \(\dfrac{dF}{dt} = T[F]\), wo \(T[F]\) eine quadratische Funktionaloperation bedeutet, bewiesen unter der Voraussetzung, daß sich die Lösung für \(t = 0\) auf eine vorgegebene positive Funktion reduziert, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: a) \(F\) hängt bezüglich der Geschwindigkeiten nur von \(r = \sqrt{\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2}\) ab, von den Ortsveränderlichen überhaupt nicht, also \(F = F (r, t)\). b) \(F (r, 0) = f_0 (r)\) genügt Ungleichungen der Form \[ 0\leqq f_0(r) <\frac a{(1+r)^\chi}\quad (\chi>6)\quad \text{für}\;\;0\leqq r<\infty. \] Verf. ersetzt b) durch \vskip0.5ex \line{\rlap{\indent b\({}_1\))}\hss \(\displaystyle\int\limits_0^\infty | F | r^\gamma\, dr\quad \text{konvergiert für}\;\gamma > 5\).\hss} \vskip0.5ex \textit{Theorem}: Für jede Lösung \(F\) der Boltzmannschen Gleichung, die der Voraussetzung b\({}_1\) genügt, besitzt das Integral \(H = \int\limits_0^\infty F\log Fr^2\, dr\) eine Ableitung \(\dfrac{dH}{dt}\), die nicht positiv ist. Nimmt man an, daß die Lösung \(F (\xi, \eta, \zeta, x, y, z, t)\) der Boltzmannschen Gleichung gegen eine Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung strebt, und setzt man zum Studium des Verhaltens von \(F\) in der Grenze \(F = f(1 + \varphi)\), so nimmt die Boltzmannsche Gleichung die Form \[ \frac{d(f\varphi)}{dt}=T[f,f\varphi] + T[f\varphi] \] an. Mittels einer von Hilbert stammenden Änderung der Veränderlichen und der Unbekannten zeigt man, daß \(T [f, f\varphi]\) sich in der Form \[ T[f,f\varphi]= -\frac14\frac{a^2}{b^2} k\psi -\frac14\frac{a^2}{b^2} \int\limits_{\varOmega_1} K\psi_1\, d\omega_1 \] schreiben läßt, wo \(k\) eine positive Funktion von \(r\) ist und \(K\) ein symmetrischer Kern, dessen erster iterierter in \(\varOmega_1\) quadratisch summierbar ist. Etwas weiter geführt wird der von \textit{Carleman} (s. o.) behandelte Fall. Alles ohne Beweis.