Fermi-Dirac functions. (Q2587161)

Verf. hat bemerkt, daß die Fermi-Diracsche Funktion \[ F_k(t) = \int\limits_0^\infty\frac{x^k}{e^{x-t}+1}\,dx \] die sehr einfache zweiseitige Laplace-Transformierte \(\dfrac{\varGamma(k+1)}{w^{k+1}}\dfrac\pi{\sin\pi w}\) besitzt, wodurch sich vermittels der Umkehrformel die Darstellung ergibt: \[ F_k(t) = \dfrac{\varGamma(k+1)}{2i}\int\limits_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty} \frac{e^{wt}}{w^{k+1}\sin\pi w}\,dw \quad (0<\alpha<1), \] aus der die wichtigsten Eigenschaften von \(F_k(t)\), insbesondere die asymptotische Entwicklung für \(t \to\infty\), leicht abgeleitet werden können.