On the smoothness properties of a family of Bernoulli convolutions. (Q2587181)

Die Verteilungsfunktion \(\beta(x)\) sei bzw. gleich 0, \(\frac12\), 1 in \(x \leqq - 1\), \(- 1 < x \leqq1\), \(1 < x\). Ihre Fourier-Stieltjes-Transformierte \(\int\limits_{-\infty}^\infty e^{iux}\,d\beta(x)\) ist \(\cos u\). Daher hat die unendliche Faltung (\(a > 1\)) \[ \sigma_a(x) = \beta(ax) * \beta(a^2x) * \beta(a^3x) *\cdots \] die Fourier-Stieltjes-Transformierte \[ L(u, \sigma_a)=\prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac u{a^n}\right). \] Über die Art der Stetigkeit von \(\sigma_a\) in Abhängigkeit von \(a\) sind eine Reihe von Ergebnissen bekannt. Es wird hier hinzugefügt, daß für jedes positive ganze \(m\) ein positives \(\eta(m)\) existiert, so daß die Menge derjenigen \(a\) in \(1<a<1 + \eta(m)\), für die \(\sigma_a\) keine stetige Ableitung der Ordnung \(m - 1\) besitzt, vom Maß 0 ist. Der Beweis wird auf dem Wege über \(L (u, \sigma_a)\) geführt, indem gezeigt wird: Zu jedem \(m\) existiert ein \(\delta (m) > 0\), so daß die Menge der \(a\) in \(1<a<1 + \delta (m)\), für die \[ L(u, \sigma_a)=o(|u|^{-m}) \qquad (u\to\infty) \] nicht richtig ist, das Maß 0 hat.