Some remarks on Hankel transforms. (Q2587204)

Die Hankel-Transformation für eine Funktion \(f(t) \in L_p (0,\infty)\) \((1\leqq p < 2)\) wird definiert durch \(\left( \dfrac 1p + \dfrac 1{p^\prime} = 1\right)\): \[ F(x) = \overset{(p^\prime)} {\underset{N\to \infty } {\text{l.i.m.}}} \int\limits_0^N J_{\nu,m} (2\sqrt{tx}) f(t)\, dt \equiv \mathfrak H_\nu \{f\}, \] wobei \(\dfrac 12 \mathfrak R \nu + \dfrac 1{p^\prime} \neq 0, -1, - 2, \dots\) sein soll und \[ J_{\nu,m} (z) = \sum_{n=m}^\infty \frac {(-1)^n \left( \dfrac z2\right)^{\nu + 2n}}{n! \varGamma (\nu + n + 1)} \] ist; in dieser Reihe ist \(m =0\), falls \(\dfrac 12 \mathfrak R \nu > \dfrac 1p - 1 = -\dfrac 1{p^\prime}\), und sonst ist \(m\) die positive ganze Zahl, für die \(\dfrac 1p - 1 < \dfrac 12 \mathfrak R \nu + m < \dfrac 1p\) ausfällt (\(m = 0\): gewöhnliche Hankel-Transformation, allerdings in etwas anderer Gestalt als üblich; \(m>0\): ``verkürzte'' Hankel-Transformation). Satz: Es sei \(l\) positiv ganz, \(\dfrac 12 \mathfrak R \nu + \dfrac 1p \not = 0, - 1, \dots\), \(\dfrac 12 \mathfrak R \nu + l < \dfrac 1{p^\prime}\), \(f (t) \in L_p (0, \infty) \) \((1 \leqq p \leqq 2)\). Wenn \(f\) und \(F\) ein Paar von durch \(\mathfrak H_\nu\) zusammenhängenden Funktionen sind: \(F = \mathfrak H_\nu \{f\}\) und man auf beide den Operator \(I_{\tfrac \nu{2}, l}^{ -} f\) anwendet (vgl. die vorstehend referierte Note): \[ I^{ -}_{\tfrac \nu{2}, l} f = \frac 1{\varGamma (l)} z^{-\tfrac \nu{2} - l} \int\limits_z^\infty (t-z)^{l-1} t^{\tfrac \nu{2} } f(t)\, dt = g(z), \quad I^{ -}_{\tfrac \nu{2}, l} F = G(z), \] so hängen \(g\) und \(G\) durch \(\mathfrak H_{\nu + 2l}\) zusammen: \(G = \mathfrak H_{\nu + 2l} \{g\}\). -- Ist umgekehrt \(F = \mathfrak H_{\nu + 2l} \{f\}\) und bildet man \[ K^{+}_{\tfrac \nu{2}, l} f = \frac 1{\varGamma (l)} z^{\tfrac \nu{2} } \int\limits_z^\infty (t-z)^{l-1} t^{-\tfrac \nu{2}-l} f(t)\, dt = g(z), \quad K^{+}_{\tfrac \nu{2}, l} F = G(z), \] so ist \(G = \mathfrak H_\nu \{g\}\). Der Satz ist umkehrbar: Aus \(G = \mathfrak H_{\nu + 2l} \{g\}\) und der Darstellbarkeit von \(g\) in der Form \(g = I^{ -}_{\tfrac \nu{2}, l} f\) kann auf \(G = I^{ -}_{\tfrac \nu{2}, l} F\) und \(F = \mathfrak H_\nu \{f\}\) geschlossen werden; und aus \(G = \mathfrak H_\nu \{g\}\) und \(g = K^{+}_{\tfrac \nu{2}, l} f\) auf \(G = K^{+}_{\tfrac \nu{2}, l} F\) und \(F =\mathfrak H_{\nu + 2l}\{ f \}\). Es wird noch eine Reihe weiterer Sätze von ähnlichem Charakter bewiesen.