Notes on special systems of orthogonal functions. III: A system of orthogonal polynomials. (Q2587208)

Teil I, II, J. London math. Soc. 14 (1939); 34-36, 37-44; F. d. M. 65, 285 (JFM 65.0285.*). Ist \(F (x)\) eine zur Klasse \(L^2(0, \infty)\) gehörige Eigenfunktion der Integralgleichung \(\int\limits_{0}^x F(y)\, dy = \lambda \int\limits_{0}^\infty \dfrac {K_1 (xy)}y F(y)\, dy\) mit gleichfalls zu \(L^2(0,\infty)\) gehörigem \(\dfrac {K_1 (x)}x\) -- es sind nur die Eigenwerte \(\pm 1\) möglich --, dann bestellt zwischen den Mellinschen Transformierten \(\dfrac {k(s)}{1-s}\) von \(\dfrac {K_1 (x)}x\) und \(f(s)\) von \(F (x)\) die Beziehung \[ f (s) = \pm k(s)\cdot f(1-s). \] Diese wird durch \[ f(s) = l(s) \cdot g(s - \frac 12) \tag{*} \] befriedigt, wenn \(l(s)\) gemäß \( k(s) = \dfrac {k(s)}{l(1-s)}\) und \(g (s)\) beliebig als gerade oder ungerade Funktion von \(s\) gewählt wird. Auf diese Weise lassen sich mit Hilfe der Mellinschen Umkehrformeln leicht Eigenfunktionen \(F (x)\) gewinnen. Verf. setzt insbesondere \(g (s) = (s - \frac 12)^n\) (\(n = 0, 1, 2,\dots\)). Die zugehörigen Eigenfunktionen \(F (x)\), orthogonalisiert und normiert, seien \(\varphi_0(x), \varphi_1(x),\dots,\) ihre Mellinschen Transformierten \(\psi_0(s), \psi_1(s),\dots\) Dann definiert die Beziehung \(\psi_\nu (s) = l (s)\cdot p_\nu (s - \frac 12)\) nach (*) relativ-orthogonale Polynome \(p_\nu (s)\), und zwar bilden die Polynome \(q_\nu (t) = i^{-\nu} p_\nu (it)\) ein im Intervall \( (-\infty,+ \infty)\) bezüglich \(\dfrac 1{2\pi} |l(\frac 12 + it)|^2\) orthogonales Funktionensystem. Die beiden Systeme \(\varphi_\nu (x)\) und \(\psi_\nu (s)\) sind zugleich vollständig oder nicht; hinreichend für ihre Vollständigkeit ist z. B., daß für jedes \(\delta > 0\) \( \int\limits_{-\infty}^{+ \infty} e^{\delta |t|} |l(\frac 12 + it)|^2\,dt\) existiert und endlich ist. Sei \(K_1 (x)\) das Integral von \(K (x)\). (\(K (x)\) ist dann ein Fourierscher Kern im Sinne von Hardy-Titchmarsh.) Verf. behandelt folgende Sonderfälle: 1. \(K (x) = \frac 12 J_0 (\sqrt{x})\). Mit \(l(s)=2^s \varGamma (s)\) ergibt sich für \( \varphi_\nu (x)\) die \(\nu\)-te Laguerresche Funktion; die Orthogonalitätsrelation der \(q_\nu (t)\) lautet \( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac {q_m (t) q_n (t)} {\mathfrak C \mathfrak o \mathfrak f \pi t}\, dt = \delta_{m,n}\). 2. \(K (x) = \dfrac 2\pi \dfrac 1{1-x^2}\). \( l (s) =\) cosec \(\dfrac 12 \pi s\) liefert dann \[ \varphi_\nu (x) = \dfrac 2{\sqrt {\pi}} \cos\,\frac 12 \vartheta \cdot \cos \left( \nu + \dfrac 12\right) \vartheta \] mit \(\vartheta = 2 \) arctg \(x\) und, bis auf den Faktor \(\sqrt {\pi}\), dieselben \(q_\nu (t)\) wie in 1. 3. \(l(s) = \{2^s \varGamma (s)\}^2\). Die zugehörigen \(q_\nu (t)\) erfüllen die Orthogonalitätsbedingung \(2\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \dfrac {q_m (t) q_n (t)} {\mathfrak C \mathfrak o \mathfrak f^2 \pi t}\, dt = \delta_{m,n}\) und sind im wesentlichen mit Polynomen identisch, die \textit{Bateman} untersucht hat (Tôhoku math. J. 37 (1933), 23-38 ; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 364). \(K (x)\) ist eine hypergeometrische Funktion. 4. \(K_1(x) = 0\) für \(0 \leqq x \leqq 1\) und \(= 1\) für \(x> 1\). Hier ist, unter \(P_\nu (x) \) die Legendreschen Polynome verstanden, \(\varphi_\nu (x) = \sqrt{2\nu + 1} \dfrac 1{x+1} P_\nu \left( \dfrac{x-1}{x+1} \right)\); die \(q_\nu (t)\) sind wiederum die Batemanschen Polynome.