Linear operations in semi-ordered spaces. I. (Q2587218)

Zweiter Teil der zusammenfassenden Darstellung der vom Verf. aufgestellten Theorie der halbgeordneten Räume (Teil I, Rec. math., Moscou, (2) 2 (1937), 121-168; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 353). Ein linearer Raum \(Y\) heißt halbgeordnet, wenn in \(Y\) eine Beziehung \(y>0\) erklärt ist, für die gilt: 1. \(0 \not >0\); 2. ist \(y_1 > 0\), \(y_2 > 0\), so auch \(y_1 + y_2 > 0\); 3. zu jedem \(y \in Y\) existiert ein \(y_1 > 0\) mit \(y_1- y > 0\); 4. ist \(\lambda\) reell, \(\lambda > 0\), \(y> 0\), so ist \(\lambda y > 0\); 5. jede nach oben beschränkte Menge \(E\) besitzt eine kleinste obere Schranke sup \(E\). -- Mit \(| y|\) wird sup \((y,- y)\) bezeichnet. Jedes \(y\) läßt sich als Differenz zweier positiven Elemente schreiben. \(Y\) heißt regulär, wenn noch gilt: Ist \(E_n \subset Y\) und existiert \(y = \limsup E_n\), so gibt es endliche Teilmengen \(E^\prime_n \subset E_n\) mit \(\limsup E^\prime_n = y\). Eine Folge \(y_n \in Y\) heißt \((\sigma)\)-konvergent gegen \(y\), \(y_n \to y(\sigma)\) wenn \(\varlimsup y_n= \inf (\sup(y_n, y_{n+1},\dots)) = \varliminf y_n = \sup(\inf (y_n, y_{n+1},\dots)) \) ist. Eine Folge \(y_n\) heißt \((t)\)-konvergent gegen \(y\), \(y_n\to y(t)\), wenn jede Teilfolge \(y_{n_1}, y_{n_2}, \dots\) eine gegen \(y\) \((\sigma)\)-konvergente Teilfolge besitzt. Ein regulärer Raum heißt vom Typus \(K_6\), wenn eine Menge \(E\) dann und nur dann im Sinn der Beziehung \(>\) beschränkt ist, wenn aus \(\lambda_n \to 0\), \(\lambda_n\) reell, und \(y_n \in E\) stets \(\lambda_n y_n \to 0(\sigma )\) folgt. Kapitel I studiert die linearen Transformationen \(y = U (x)\) des halbgeordneten Raumes \(X\) in \(Y\). Entsprechend den beiden Konvergenzbegriffen gibt es die Klassen \(H_\sigma^\sigma\), \(H_t^t\), \(H^t_\sigma\), \(H^\sigma_t\) von Transformationen, je nachdem eine \((\sigma)\)- oder \((t)\)-konvergente Folge stets in eine \((\sigma)\)- oder \((t)\)-konvergente Folge übergeführt wird. Es ist stets \(H_\sigma^t = H_t^t\). \(U\) heißt \(\geqq 0\), wenn \(U (x) \geqq 0\) ist für \(x \geqq 0\). \(U\) heißt regulär, wenn es ein \(U_1> 0\) gibt mit \(U_1 > U\). Es wird gezeigt, daß die Menge \(H_r\) aller regulären Operationen von \(X\) in \(Y\) selbst ein halbgeordneter linearer Raum ist. Die \((\sigma)\)-Konvergenz in \(H_r\) einer monotonen Folge \(U_n\) gegen \(U\) ist mit \(\lim\limits_{n \to \infty} U_n(x) = U (x)\) für alle \(x \in X\) gleichbedeutend. Sind \(X\) und \(Y\) vom Typus \(K_6\), so fallen \(H_r\) und \(H_\sigma^\sigma\) zusammen. Es folgen weitere Sätze über Identitäten dieser Klassen untereinander und mit der Klasse der beschränkten Operationen, wenn \( X\) oder \(Y\) überdies noch Banachsche Räume sind. Kapitel II beschäftigt sich mit der Darstellung der linearen Operationen durch Integrale. Von den zahlreichen Resultaten seien erwähnt: \(M\) sei der Raum aller reellen, beschränkten Funktionen in (0,1) mit \(\| x \| = \sup | x (t) |\). Die allgemeine Form der im Sinne der Metrik stetigen Transformationen von \(M\) in einen anderen Banachraum wird durch das Radonintegral \( y = U (x) = \int\limits_0^1 x (t) \varPhi (de)\) gegeben, \(\varPhi (e)\) eine additive Mengenfunktion mit \(\sup\limits_{e \subset (0,1)} \|\varPhi (e) \| < \infty\). \(C\) sei der Raum der in \((a, b)\) stetigen Funktionen mit \(\varphi \geqq 0\), wenn \(\varphi (t) \geqq 0\) überall, und \(\| \varphi \| = \sup | \varphi (t)|\). Die Klasse \(H_r\) der regulären Transformationen von \(C\) in einen \(K_6\) fällt zusammen mit den durch das Stieltjesintegral \(U(x)= \int\limits_a^b x (t) \, dg (t)\) darstellbaren, wo \(g (t)\) eine Funktion mit Werten im \(K_6\) ist, die Differenz zweier positiven Funktionen ist. Ähnliche Ergebnisse gelten für den halbgeordneten Raum \(\widetilde{M}^*\) der meßbaren Funktionen (\(y \geqq 0\), wenn \(y (t)\geqq 0\) fast überall) für die Klassen \(H_t^\sigma\) und \(H^\sigma_\sigma\). Hier wird auch das Hellingersche Integral herangezogen: \(H^\sigma_\sigma\) wird durch die Operationen \(U(x)= \int\limits_a^b \dfrac {df(t)dg(t)}{dt}\) gegeben. \(f(t) = \int\limits_x^t x(\tau)\, d\tau\), \(g (t)\) absolut \((t)\)-stetig, d. h. aus \(\sum (t_i - t_i^\prime) \to 0\) folgt stets \(\sum |g(t_i^\prime) - g(t_i)| \to 0(t)\). Analoge Ergebnisse für die Räume \(L^p\) und \(l^p\), aus denen sich speziell eine Verallgemeinerung der Fourierentwicklung und des Riesz-Fischerschen Satzes auf gewisse Funktionen mit Werten in halbgeordneten Banachräumen ergeben.