Partially ordered linear spaces. (Q2587221)

\(L\) sei ein distributiver Verband mit Nullelement, in dem die Vereinigung \(\underset{ x \in S } V x\) von beliebigen Mengen \(S\) gebildet werden kann und stets \(y \frown V x = V(y \frown x)\) gilt für beliebiges \(y \in L\). Wird in \(L\) \ \(b \prec a\) durch \(b \frown u = 0\) für alle \(u\) mit \(a \frown u = 0\) erklärt und \(a\sim b\) durch \(b\prec a\), \(a \prec b\), so bilden die Äquivalenzklassen bezüglich der Beziehung \(\sim\) eine verallgemeinerte Boolesche Algebra mit Nullelement. -- \(Y\) sei ein teilweise geordneter linearer Raum im Sinne von \textit{L. Kantorovitch} (Rec. math., Moscou, (2) 2 (1937), 121-168; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 353), der die Axiome I bis VI loc. cit. erfüllt. Ist \(| y | \frown u = 0\) für alle \(u\) mit \(| x | \frown u = 0\), so wird \(y \prec x\) gesetzt (\(x\), \(y\), \(u\) aus \(Y\)). Wieder wird das System \(\mathfrak Y\) der zugehörigen Äquivalenzklassen untersucht. Es gilt das obige Resultat, aber noch mehr; \(\mathfrak Y\) ist sogar eine verallgemeinerte \(\aleph_1\)Boolesche Algebra. Die Äquivalenzklasse von \(y \in L\) sei \(A_y\). Ist nun \(B \subseteq A_y\), \(B \subseteq \mathfrak Y\), so zerfällt \(y\) entsprechend der direkten Zerlegung \(A_y = B \oplus C\) in \(\mathfrak Y\) in \(y = y_B + y_C\) eindeutig. Ist \(B\) beliebig, so wird als eindeutig bestimmte \(B\)-Komponente \(y_B\) das Element \(y_{B \frown A_y}\) bezeichnet. \(y_B\) wird eine vollständig additive Verbandsfunktion auf \(\mathfrak Y\). Speziell läßt sich damit die charakteristische Schar \(E_\lambda\) zu einem \(y \prec x\), \(x > 0\), einführen und die von \textit{H. Freudenthal} (Proc. Akad. Wet. Amsterdam 39 (1936), 641-651; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 91) erhaltene Integraldarstellung \(y = \int\limits_{-\infty}^\infty \lambda \, dx_{E_\lambda}\) auf neuem Wege ableiten. Schließlich werden noch die Ideale in \(\mathfrak Y\) untersucht und mit gewissen Idealen in \(Y\) in eine eindeutige Beziehung gebracht.