A new method of solving of some classes of extremal problems. (Q2587226)

Wenn das Funktional \(F (x)\) auf einer konvexen, kompakten Menge \(A\) eines linearen metrischen Raumes oberhalb stetig ist und im Innern von \(A\) kein Maximum hat, so existiert ein \textit{lineares} Funktional, das sein Maximum auf \(A\) in demselben Randpunkt \(x_0\) wie \(F\) erreicht. Hieraus folgt: Man betrachte ein beliebiges lineares Funktional \(f\) auf \(A\) und nenne die Menge der Punkte von \(A\), wo \(f\) sein Maximum erreicht, \(H_f\). Mit \(p (f)\) sei das Maximum von \(F\) auf \(H_f\) bezeichnet. Dann ist das Maximum von \(p (f)\) für alle \(f\) identisch mit dem Maximum von \(F\) auf \(A\). Wenn außerdem die durch \(F(x)\geqq C\) definierte Punktmenge stets konvex ist, so kann man behaupten, daß \(F (x)\) sein Maximum in \(x_0\) erreicht, wenn es ein lineares Funktional \(f_0\) mit \(f_0(x) \leqq f_0(x_0)\) in \(A\) und \(f (x) \geqq f_0(x_0)\) auf \(F (x) = F(x_0)\) gibt. Die letzte Forderung kann auch durch \(F (x) \leqq F(x_0)\) auf \(f_0(x) = f_0(x_0)\) ersetzt werden. Diese Ergebnisse, die im Fall des euklidischen Raumes durch die einfachsten Eigenschaften der Stützebenen einleuchten, benutzt Verf. zur Behandlung einiger Probleme, von denen das erste hier angeführt sei: \(\alpha_1(t), \dots, \alpha_n(t)\) seien für \(a \leqq t \leqq b\) gegebene, nach Lebesgue integrierbare Funktionen. Es sollen meßbare Funktionen \(h_1 (t), \dots, h_n (t)\) so bestimmt werden, daß: \[ 1) \quad h_i (t) \geqq 0, \qquad 2) \quad \sum_{i=1}^n h_i (t) = 1, \qquad 3) \quad \min_{i=1, \dots n} \int\limits_a^b h_i (t)\alpha_i (t)\, dt \] möglichst \textit{groß} sein soll.