Les systèmes d'équations linéaires dans les espaces uniformément convexes. (Q2587236)

\(B\) sei ein Banachraum mit gleichmäßig regulärer Norm (vgl. die vorstehend besprochene Note), \(x_1, x_2, \dots \) eine Folge von Elementen aus \(B\) vom Betrag 1, ferner \(a_1, a_2, \dots\) eine Zahlenfolge; dann hat das Gleichungssystem (1) \(\varPhi (x_i) = a_i\) \((i = 1, 2, \dots) \) \(\varPhi \in \bar{B}\), höchstens eine Lösung \(\varPhi \) von kleinstem Betrage. Ist \(\varPhi_n\) eine minimale Lösung der ersten \(n\) Gleichungen, und wird \(M_n = \sup \dfrac {|\lambda_1 a_1 + \cdots + \lambda_n a_n|} {|\lambda_1x_1 + \cdots + \lambda_nx_n|}\) gesetzt, wobei die \(\lambda_i\) beliebige Zahlen durchlaufen, so gilt: (1) ist dann und nur dann lösbar, wenn \(\lim\limits_{n \to \infty} M_n < \infty\) ist. Die minimale Lösung ist dann lim \(\varPhi_n\). Ist \(B\) überdies separabel, so gibt es \(x_1, x_2, \dots\) in \(B\) mit \(|x_1| = 1\), \(x_i\) senkrecht auf \(x_j\) für \(i < j\); es ist die lineare vollständige Hülle der \(x_i\) gleich \(B\) und jedes \(x \in B\) hat die eindeutig bestimmte Gestalt \(\sum \lambda_i x_i\).