On a special ring of functions. (Q2587272)

In analoger Weise wie in der vorstehend besprochenen Abhandlung definiert Verf. einen normierten Ring \(\mathfrak R_Q\) über einer topologischen Menge \(Q\) durch die lineare komplexe Hülle der beschränkten stetigen p. d. Kerne \(\varPhi (s, t)\) (\(s \in Q\), \(t \in Q\)), d. h. der komplexen hermiteschen Funktionen \(\varPhi (s, t)\) (\(\varPhi (s, t) = \overline{\varPhi (t, s)}\)), für welche \[ \sum_{j, k=1}^n \varPhi (s_j, s_k) \xi_j \xi_k \geqq 0 \] ist. Die Definition von \(\| \varPhi \|\) muß übergangen werden. \(\mathfrak R_Q\) ist wieder vollständig. Unter Benutzung von Gelfandschen Sätzen beweist Verf. folgende Kriterien für Zugehörigkeit zu \(\mathfrak R_Q\) bei Voraussetzung der Kompaktheit von \(Q\): I. Aus \(\varPhi \in \mathfrak R_Q\) folgt \(f(\varPhi) \in \mathfrak R_Q\) falls \(f(z)\) eine analytische Funktion ist, die auf der Menge \(z = \varPhi(s, t)\) regulär ist. II. Der Kern \(\varPhi (s, t)\) gehört zu \(\mathfrak R_Q\), wenn es zu jedem Punkte \((s, t) \in Q^2\) eine Umgebung \(U\) und einen Kern \(\varPhi_0 (s, t) \in \mathfrak R_Q\) gibt, derart, daß \(\varPhi (s, t) = \varPhi_0 (s, t)\) in \(U\) ist.