Sur les opérateurs totalement continus linéaires laissant invariant un certain cône. (Q2587290)

\(B\) sei ein Banachraum. Eine Menge \(K\) von Elementen aus \(B\) bildet einen Kegel, wenn 1) mit \(x\) und \(y\) auch \(x + y\) in \(K\) liegt, 2) mit \(x\) auch \(\lambda x\), sobald \(\lambda > 0\) ist, wenn 3) \(K\) abgeschlossen ist und 4) eine Linearfunktion \(f(x)\) existiert, die auf allen \(x \neq 0\) aus \(K\) positiv ist. Ein linearer Operator \(A\) von \(B\) in sich heißt positiv bezüglich \(K\), wenn für jedes \(x \in K\) auch \(Ax \in K\) ist, und wenn ein \(x_0 \in K\) und ein \(c > 0\) existiert mit \(Ax_0 - cx_0 \in K\). Ist nun \(A\) totalstetig und positiv bezüglich eines Kegels \(K\), so besitzt \(A\) in \(K\) einen Eigenvektor. Läßt sich jedes Element von \(B\) als Differenz zweier Elemente aus \(K\) darstellen, so gilt überdies, daß \(A\) in \(K\) einen Eigenvektor mit einem Eigenwert von größtem Absolutbetrag annimmt. Ist K ferner ein Körper, d. h. enthält \(K\) innere Punkte, und ist \(A\) totalpositiv in \(K\), d. h. wird jeder Randpunkt von \(K\) durch eine genügend hohe Potenz von \(A\) ins Innere von \(K\) abgebildet, so besitzt \(A\) in \(K\) genau einen Eigenvektor mit einem absolut größten Eigenwert \(\lambda_0\). Ferner ist \(1/\lambda_0\) ein einfacher Pol der Resolvente von \(A\). Diese Sätze sind weitgehende Verallgemeinerungen bekannter Sätze über positive Kerne bei Integralgleichungen (vgl. \textit{Jentzsch}, J. reine angew. Math. 141 (1912), 235-244; F. d. M. 43, 429 (JFM 43.0429.*)) unter Verwendung eines ebenfalls bekannten Satzes von \textit{J.Schauder} (Studia math., Lwów, 2 (1930), 171-180; F. d. M. 56, 355 (JFM 56.0355.*)).