Spectral functions of a symmetric operator. (Q2587294)

\(\mathfrak H\) und \(\mathfrak H_1\) seien Hilbertsche Räume beliebiger Dimension, \(\mathfrak H_1 \subset \mathfrak H\). Sind \(A\) und \(A_1\) abgeschlossene lineare Operatoren in \(\mathfrak H\), \(\mathfrak H_1\) mit in \(\mathfrak H\), \(\mathfrak H_1\) dichten Definitionsbereichen \(\mathfrak D (A)\), \(\mathfrak D(A_1)\), so heißt \(A\) Fortsetzung von \(A_1\), wenn \(\mathfrak D (A_1) \subset \mathfrak D (A)\) und für jedes \(f \in \mathfrak D(A_1)\) \ \(Af = A_1 f\) gilt. Sei ferner \(H_1\) ein symmetrischer Operator in \(\mathfrak H_1\); eine Familie \(E_1 (\lambda)\), \(-\infty < \lambda < +\infty\) von beschränkten, selbstadjungierten Operatoren heißt eine Spektralfunktion von \(H_1\), wenn \ 1) \((E_1(\lambda) f, f)\) eine nichtabnehmende Funktion von \(\lambda\) ist für \(f \in H_1\); \ 2) \(E_1(\lambda - \varepsilon) f \to E_1(\lambda) f\) für \(\varepsilon \to 0\), \(\varepsilon > 0\); \ 3) \(E_1 (\lambda) f \to 0\) für \(\lambda \to -\infty\), \(E_1(\lambda) f \to f\) für \(\lambda \to +\infty\); \ 4) für jedes endliche Intervall \(\varDelta\) und \(f \in \mathfrak H_1\) \ \(E_1(\varDelta) f \in \mathfrak D (H_1^*)\) und \(H_1^* E_1(\varDelta) f = \int\limits_\varDelta \lambda d E_1(\varDelta \lambda) f\) ist. -- Es gilt nun folgender Satz: Es sei \(H_1\) abgeschlossen symmetrisch in \(\mathfrak H_1\) und \(E_1(\lambda)\) eine Spektralfunktion von \(H_1\). Sei \(\mathfrak H\) ein beliebiger Hilbertscher Raum mit \(\mathfrak H_1 \subset \mathfrak H\) und \(\dim\,\mathfrak H_1 \leqq \dim\,(\mathfrak H \ominus \mathfrak H_1) = \dim\,\mathfrak H\), sei ferner \(E_1\) die Projektion von \(\mathfrak H\) auf \(\mathfrak H_1\). Dann gibt es in \(\mathfrak H\) eine selbstadjungierte Erweiterung \(H\) von \(H_1\), so daß für alle \(f \in \mathfrak H_1\) (*) \(E_1(\lambda) f = E_1\cdot E(\lambda)f\) gilt, \(E (\lambda)\) die Spektralschar von \(H\). Umgekehrt definiert jede selbstadjungierte Erweiterung \(H\) von \(H_1\) durch (*) eine Spektralfunktion von \(H_1\). -- Ferner wird gezeigt, daß jede Spektralfunktion \(E_1(\lambda)\) eines Hermiteschen Operators \(H_1\) vom Carlemantypus ist, d. h. es gibt eine Folge von beschränkten selbstadjungierten Operatoren \(H^{(n)}\) mit den Eigenschaften: \ 1) Das Spektrum jedes \(H^{(n)}\) besteht aus einer endlichen Anzahl von Eigenwerten, \ 2) die Folge \(H^{(n)}\) approximiert \(H_1\) im Sinn von M. H. Stone, \ 3) die Folge \(E^{(n)} (\lambda)\) der Spektralscharen der \(H^{(n)}\) konvergiert schwach gegen \(E_1(\lambda)\) für alle reellen \(\lambda\). -- Es folgen Sätze über minimale selbstadjungierte Fortsetzungen eines symmetrischen Operators. (Nach dem Auszug besprochen.)