Störungstheorie der Spektralzerlegimg. IV. (Q2587301)

Die vorliegende Arbeit setzt drei frühere Arbeiten des Verf. fort (I, II, III, Math. Ann., Berlin, 113 (1936); 600-619, 677-685; 116 (1939), 555-570; F. d. M. \(62_{\text{I}}\); 452, 453; 65, 510). Gegenstand des ersten Teiles sind die (schon in III untersuchten) linearen symmetrischen Operatoren \(A(\varepsilon)\), die, für alle \(\varepsilon\) einer Umgebung von \(\varepsilon = 0\) in einem von \(\varepsilon\) unabhängigen Teilraum \(\mathfrak A \prec \mathfrak H\) des Hilbertschen Raumes \(\mathfrak H\) erklärt, den Bedingungen genügen: 1) \(A(\varepsilon)u\) ist für jedes \(u \prec \mathfrak A\) regulär, d. h. in \(A_0u + \varepsilon A_1 u + \varepsilon^2 A_2 u + \cdots\) entwickelbar, und es gilt mit drei nichtnegativen Konstanten \(a\), \(b\), \(p\): \[ | A_nu | \leqq p^{n-1}(a | u | + b | A_0u |) \quad (n \geqq 1). \] 2) Der ungestörte Operator \(A (0)\) ist ``durch Abschließen'' zu einem in \(\mathfrak A_0 \succ \mathfrak A\) selbstadjungierten Operator fortsetzbar, d. h. jedes Element \(u \prec \mathfrak A_0\) ist Grenzelement einer Folge \(\{u_n\} \prec \mathfrak A\), und es gilt \(A (0) u = \lim\limits_{n\to\infty} A(0) u_n\). (Nach III ist dann \(A(\varepsilon)\), nach Fortsetzung auf \(\mathfrak A_0\), regulär und selbstadjungiert.) Der (in I und III) für solche Operatoren bewiesene Satz, wonach aus der Existenz eines isolierten \(h\)-fachen Punkteigenwertes \(\lambda\) mit den normierten Eigenelementen \(\varphi^1, \dots, \varphi^h\) des ungestörten Operators \(A(0)\) auch die Existenz regulärer Eigenwerte \(\lambda^i(\varepsilon) = \lambda + \varepsilon \lambda_1^i + \varepsilon^2 \lambda_2^i + \cdots\) und regulärer Eigenelemente \[ \varphi^i (\varepsilon) = \varphi^i + \varepsilon \varphi_1^i + \varepsilon^2 \varphi_2^i + \cdots \qquad (i = 1, 2, \dots, h) \] des gestörten Operators \(A(\varepsilon)\) folgt, wird nunmehr in zwei Sonderfällen nach folgender Richtung konkretisiert: (a) es werden Rekursionsformeln für die \(\lambda_n^i\) und \(\varphi_n^i\) abgeleitet; (b) es wird ein angebbares Intervall um \(\varepsilon = 0\) abgegrenzt, in dem die Reihen für \(\lambda^i(\varepsilon)\) und \(\varphi^i(\varepsilon)\) sicher konvergieren; (c) in diesem Intervall werden die Fehler der \(n\)-ten Näherungen für die Eigenwerte und Eigenelemente, also \[ | \lambda^i(\varepsilon) - \lambda - \varepsilon \lambda_1^i - \cdots - \varepsilon^n \lambda_n^i | \;\text{ und } \;| \varphi^i(\varepsilon) - \varphi^i - \varepsilon \varphi_1^i - \cdots - \varepsilon^n \varphi_n^i | \] abgeschätzt. Die beiden Sonderfälle sind: 1. \(h = 1\) (\(\lambda\) ist einfacher Eigenwert). 2. \(\lambda\) ist \(h\)-facher Eigenwert mit ``einfacher erster Näherung'', d. h. unter den zugehörigen Eigenelementen \(\varphi^i\), die so ausgewählt sein mögen, daß \((A_1 \varphi^m, \varphi^n) = 0\) für \(m \neq n\) ist, soll wenigstens eines, etwa \(\varphi^r\), vorhanden sein, für das \((A_1\varphi^r, \varphi^r)\) von allen übrigen \((A_1 \varphi^i, \varphi^i)\) verschieden ist. Die Aussagen (a)--(c) werden in diesem Fall für \(i = r\) gemacht. Der Hauptsatz des zweiten Teiles der Arbeit ist im wesentlichen ein Regularitätskriterium für symmetrische Operatoren \(A(\varepsilon)\), bei denen nicht wie in den in III behandelten Kriterien Regularität von \(A(\varepsilon) u\) für alle \(u \prec \mathfrak A\) vorausgesetzt wird. Es wird vielmehr von der Existenz einer ``entwickelbaren'' Form \[ (uA_\varepsilon v) = (uA_0 v) + \varepsilon (u A_1 v) + \cdots \] ausgegangen und daraus bei Vorhandensein eines durch Abschließen zu einem selbstadjungierten fortsetzbaren, nunmehr aber überdies noch nach unten halbbeschränkten Operators \(A_0\) mit \((uA_0 v) = (A_0 u, v)\) auf die Existenz eines regulären selbstadjungierten Operators \(A(\varepsilon)\) geschlossen, für den \(A(0) = A_0\) und \((u A_\varepsilon v) = (A(\varepsilon) u, v)\) gilt. Für derartige Operatoren \(A(\varepsilon)\), deren zugehöriges \(A(0)\) einen isolierten einfachen Punkteigenwert besitzt, gilt eine zu (c) analoge Abschätzung auch noch, wenn \(| u |\) durch \(\| u \| = \sqrt{(1 + a) | u |^2 + b(A_0 u, u)}\) ersetzt wird. Die skizzierten Ergebnisse werden auf die Differentialoperatoren \[ \begin{matrix} \l \\ A(\varepsilon) u = -(p(x) u^\prime)^\prime + q(x) u + \varepsilon s(x) u, \\ A(\varepsilon) u = -(p(x) u^\prime)^\prime + q(x) u + \varepsilon \dfrac{s(x)}{x}\, u, \\ A(\varepsilon) u = -\varDelta u - \dfrac cr \, u + \varepsilon \left\{ s_1(x y z) + \dfrac{s_2(x y z)}{r} + \dfrac{s_3(x y z)}{r^2}\right\} u \end{matrix} \] (mit \(r^2 = x^2 + y^2 + z^2\)) und auf die Form \[ (uA_\varepsilon v) = \int\limits_0^l (p(x) u^\prime v^\prime + q(x) uv) \, dx + \varepsilon u(l) v(l) \] angewendet.