Wienersche Spiralen und einige andere interessante Kurven im Hilbertschen Raum. (Q2587304)

1. \(Ux\) sei ein unitärer Operator des Hilbertschen Raumes \(H\), \(a\) ein festes Element aus \(H\); dann heißt \(Kx = a + U x\) eine ``Bewegung'' in \(H\). Sei ferner \(\{K_t\}\) \((-\infty < t < +\infty)\) eine einparametrige Schar solcher Bewegungen mit der Gruppeneigenschaft \(K_{s+t} = K_s K_t\) und der Stetigkeitseigenschaft \(\lim\limits_{t^\prime \to t} \| K_{t^\prime} x - K_t x \| = 0\). Gegenstand der Untersuchung ist die Gesamtheit der Funktionen \(\xi (t)\) in \(H\) von der Gestalt \(\xi(t) = K_t x_0\) mit festem \(x_0\) und \(-\infty < t < +\infty\) (``Klasse \(\mathfrak K\)''). Insbesondere wird die Frage nach einem vollständigen System von Invarianten solcher Funktionen \(\xi(t)\) gegenüber beliebigen Bewegungen in \(H\) gestellt und dahingehend beantwortet, daß die Dimensionszahl \(\alpha_\xi\) des zum kleinsten abgeschlossenen, alle Differenzen \(\xi (t + \tau) - \xi(t)\) enthaltenden linearen Unterraum \(H_\xi\) orthogonalen Raumes \(H - H_\xi\) sowie eine bestimmte (komplexe) Zahl \(\vartheta_\xi\) und eine bestimmte, durch mehrere Nebenbedingungen eingeschränkte Intervallfunktion \(F_\xi(\varDelta)\), die beide aus der Spektraldarstellung der (von \(t\) unabhängigen) Funktion \[ B_\xi (\tau_1, \tau_2) = (\xi (t + \tau_1) - \xi(t), \;\, \xi (t + \tau_2) - \xi(t)) \] eindeutig entnommen werden können, ein derartiges Invariantensystem bilden. \(F_\xi(\varDelta)\) steht auch zur Spektraldarstellung von \(\xi(t)\) in enger Beziehung. Für unitäre \(K_t\) (``Klasse \(\mathfrak K_0\)'') sind die ausgesprochenen Sätze bekannt. Die Zurückführung des allgemeinen Falles auf diesen Sonderfall wird angedeutet. 2. Die Transformation \(Ax = a + qUx\) \ \((q > 0)\) heißt ``Ähnlichkeitstransformation''. Alle \(\xi(t)\) der Klasse \(\mathfrak K\), zu denen bei beliebigem reellen \(k \neq 0\) eine Ähnlichkeitstransformation \(A_k\) existiert, so daß \(\xi (kt) = A_k \xi (t)\) \ \((-\infty < t < +\infty)\) gilt, bilden die ``Klasse \(\mathfrak A\)''. Für solche \(\xi (t)\) hat \(B_\xi (\tau_1, \tau_2)\) die Gestalt \[ c (| \tau_1 |^\gamma + | \tau_2 |^\gamma - | \tau_1 - \tau_2 |^\gamma) \] mit \(c > 0\) und \(0 < \gamma \leqq 2\). \ \(c\) und \(\gamma\) sind Invarianten gegenüber Bewegungen. Besonders untersucht wird die Unterklasse \(\gamma = 1\) (``Klasse \(\mathfrak W\)''); die entsprechenden Kurven werden als Wienersche Spiralen bezeichnet. Sie sind bis auf eine Kongruenz durch die einzige Invariante \(\alpha_\xi\) definiert. Verf. gibt auch ein Beispiel der Realisierung der Wienerschen Spiralen. Abschließend wird auf das Auftreten von Klassen zufälliger Funktionen vom Typus der Klassen \(\mathfrak K\), \(\mathfrak K_0\), \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak W\) in der Wahrscheinlichkeitsrechnung hingewiesen. Beweise werden nicht gegeben und an anderer Stelle in Aussicht gestellt.