On linear transformations. (Q2587306)

Es werden für lineare und vollstetige Transformationen von gewissen Banachräumen in andere Banachräume Integraldarstellungen gegeben. -- \S\,1 studiert die Funktionenräume, die zu diesen Integraldarstellungen gebraucht werden: \(T\) sei eine Menge von Elementen \(t\). In \(T\) sei eine \(\sigma\)-Familie \(\mathfrak T\) von Teilmengen \(\tau\) von \(T\) gegeben, auf der eine Maßfunktion \(\alpha(\tau) = | \tau |\) erklärt ist. \ \(X\) sei ein Banachraum, \(\overline X\) der konjugierte Raum, \(\varGamma\) eine determinierende Mannigfaltigkeit in \(\overline X\), \(x(\tau)\) eine auf \(\mathfrak T\) erklärte Funktion mit Werten aus \(X\). \(V^q(X, \varGamma)\) sei der Raum aller \(x(\tau)\) für die \(\sup\limits_{\pi} \sum\limits_{\pi} \dfrac{| \bar x [x(\tau_i)] |^q}{| \tau_i |^{q-1}} < \infty\) ist für alle \(x \in \varGamma\); dabei ist \(\pi\) eine höchstens abzählbare Menge von disjunkten \(\tau_i \in \mathfrak T\) mit \(0 < | \tau | < \infty\). \ \(V^\infty (X)\) sei der Raum aller \(x(\tau)\) mit \(\| x(\tau)\| \leqq M \cdot | \tau |\), \(| \tau | < \infty\). \ \(V^1(X, \varGamma)\) läßt sich analog erklären. Die \(V^q(X, \varGamma)\) und \(V^\infty (X)\) sind Banachräume. In diesen Räumen werden gewisse abgeschlossene Teilräume \(V^q_c(X, \varGamma)\) erklärt. In \S\,2 werden Integrale von folgendem Typus betrachtet: \(L^p(\alpha)\) sei der Raum aller auf \(T\) meßbaren Funktionen \(\psi(t)\), für die \(\int\limits_T | \psi(t) |^q \, d\alpha < \infty\) und wahres \(\sup\limits_{t \in T} | \psi(t) | < \infty\) ist. Ist \(\varPhi(t)\) in \(L^p(\alpha)\) und \(x(\tau)\) in \(V^q(X, \varGamma)\), \(1 < q \leqq \infty\), so wird \(\int \varPhi \, dx = \lim\limits_\pi \sum\limits_\pi \varPhi(t_i) x(\tau_i)\) gesetzt, wenn für alle \(\pi \geqq \pi_0\) \ \(\sum\limits_\pi \varPhi(t_i) \,x(\tau_i)\) unbedingt konvergent ist für jedes \(t_i \in \tau_i\), und wenn der Grenzwert im Moore-Smithschen Sinne existiert. Es wird gezeigt, daß für jedes \(\varPhi(t)\) in \(L^p (\alpha)\) und jedes \(x (\tau)\) in \(V^q(X, \varGamma)\) das Integral existiert. Zusammenhänge mit den Dunfordschen und Birkhoffschen Integralen werden aufgezeigt. Ähnliche Sätze gelten für beschränkte Funktionen \(\varPhi(t)\) und \(x(\tau) \in V^1 (X, \varGamma)\). \S\,3 betrachtet bedingt kompakte Mengen in einem Banachraum \(X\). Notwendig und hinreichend dafür, daß die Menge \(S = [x]\) bedingt kompakt ist, ist, daß sowohl \(\sup\limits_{x \in S} | \bar x (x) | < \infty\) für jedes \(\bar x \in \varGamma\) ist, als auch die Transformation \(U(\bar x) = \bar x (x)\) von \(\varGamma\) in \(M_S\) (\(M_S\) der Banachraum der beschränkten reellen Funktionen auf \(S\)) vollstetig ist. Daraus folgt ein Kriterium von \textit{Gelfand}, das von diesem fälschlich auch für nichtseparable \(X\) behauptet wurde (Rec. math. Moscou (2) 4 (1938) 235-284; F. d. M. \(64_{\text{I}}\), 368). Ferner folgt der Satz: \(U\) sei eine additive und homogene Transformation von \(X\) in \(Y\), und \(\overline U\) sei vollstetig auf \(\varGamma\) in \(\overline X\), dann ist \(U\) vollstetig. \S\,4 enthält die Hauptresultate: Die allgemeine Form einer linearen Transformation \(U(\varPhi)\) von \(L^p (\alpha)\) in einen beliebigen Banachraum \(X\) ist \(U(\varPhi) = \int \varPhi \, dx\) mit \(x(\tau)\) in \(V^q(X, \varGamma)\) \(\left(\dfrac 1p + \dfrac 1q = 1\right)\), und \(\| U \| = \| x (\tau) \|\). Ist \(U\) vollstetig, so liegt \(x(\tau)\) in \(V_c^q (X, \varGamma)\). Ähnliche Resultate erhält man für \(V^\infty (X)\) und ähnliche Räume. In \S\,5 wird unter gewissen Einschränkungen für \(T\) eine weitergehende Integraldarstellung der vollstetigen Transformationen von \(L^p(\alpha)\) in \(X\) erhalten; es wird \(U(\varPhi) = \int \varPhi (t)\, x (t)\, d\alpha\), mit \(x(t)\) in dem Raum \(B_c^\infty (X)\) aller schwach meßbaren Punktfunktionen \(x(t)\) von \(\varGamma\) in \(X\), die fast überall Werte annehmen, die einer bedingt kompakten Menge angehören. Auch für schwach vollstetige \(U\) gilt eine ähnliche Darstellung. Als Folgerung gilt: Ist \(U\) schwach vollstetig, so führt \(U\) bedingt schwach kompakte Mengen in bedingt kompakte über. Ist \(U\) schwach vollstetig auf \(L\) in \(L\), so ist \(U^2\) vollstetig. In \S\,6 wird gezeigt, daß vollstetige Transformationen der Räume \(L^p\), \(l^p\), \(C\), \(c_0\), \(M_T\), (\(1 \leqq p \leqq \infty\)) in einen beliebigen Banachraum \(X\) durch ausgeartete Transformationen (für die der Bildraum endlich-dimensional ist) nach der Norm approximiert werden können.