Differential operators acting as integrators. (Q2587313)

Der Mittelwert \(\bar f = \varOmega f\) von Funktionen \(f\), die in eine Taylorreihe entwickelbar sind, über die Punkte einer Kreisperipherie bzw. einer Kugeloberfläche vom Radius \(a\) wird vermittels des Laplaceschen Operators \(\varDelta = \nabla^2\) und seiner Iterationen symbolisch ausgedrückt. In der Ebene ergibt sich \[ \varOmega = J_0(i a \nabla) = 1 + \frac{a^2}{2^2} \nabla^2 + \frac{a^2}{2^2 \cdot 4^2}\,\nabla^4 + \cdots \] (\(J_0 =\) Bessel-Funktion), im Raume \[ \varOmega = \frac{\sinh \, (a\nabla)}{a\nabla} = 1 + \frac{a^2}{3!}\, \nabla^2 + \frac{a^4}{5!}\, \nabla^4 + \cdots \] Diese Ausdrücke setzen in Evidenz, daß für harmonische Funktionen \(\varOmega f = f\) für jedes \(a\) ist. In analoger Weise lassen sich andere Integralausdrücke symbolisch durch \(\nabla\) darstellen: Ist \(\mathfrak R\) ein Vektorfeld, so ist der Fluß durch eine Kreisperipherie vom Radius \(a\) \[ 2\pi a^2 \,\frac{J_1 (ia \nabla)}{ia\nabla} \, \text{ div }\,\mathfrak R \] und die Zirkulation längs der Peripherie \[ 2\pi a^2 \,\frac{J_1 (ia \nabla)}{ia\nabla} \, | \text{ curl }\mathfrak R\, |, \] wo für div \(\mathfrak R\) und curl \(\mathfrak R\) die Werte im Mittelpunkt des Kreises zu setzen sind. -- Für einige Beispiele wird \(\varOmega\) explizit ausgerechnet.