Conditions for uniqueness in the problem of moments. (Q2587324)

Verf. behandelt in relativ einfacher Weise die Frage: Gibt es zu den Momenten \(\mu_n\), die von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung \(F\) geliefert worden sind, noch eine andere Verteilung mit den gleichen Momenten? Er zeigt die Eindeutigkeit, wenn mit der Bezeichnung \(\nu_r = \int\limits_{-\infty}^\infty |x^r| \, dF\) für die absoluten Momente gilt: a) entweder \(\sum\limits_{r = 0}^\infty \dfrac{\nu_r t^r}{r!}\) konvergiert für ein reelles von 0 verschiedenes \(t\), b) oder \(\lim\limits_{n\to\infty} \nu_n^{\tfrac 1n}/n\) ist beschränkt, c) oder \(\lim\limits_{n\to\infty} \mu_{2n}^{\tfrac{1}{2n}}/n\) ist beschränkt, d) oder \(\sum\limits_{r=0}^\infty \nu_r^{-\tfrac 1r}\) divergiert. Die Bedingung d) und ihr Beweis nebst den Folgerungen scheint Ref. nicht ganz stichhaltig, wenn nicht noch eine Zusatzbedingung hinzukommt, die über die Beziehung \[ \nu_1 \leqq \nu_2^{\tfrac 12} \leqq \cdots \leqq \nu_r^{\tfrac 1r} \leqq \cdots \] hinaus feststellt, daß für große \(r\) stets \(\nu_{r+1}^{\tfrac{1}{r+1}} \,\nu_r^{-\tfrac 1r} \leqq q < 1\) ist.