Vergleich der Integralgleichungsmethode von Bucerius mit dem Ritzschen Verfahren zur genäherten Lösung von Differentialgleichungen. (Q2587432)

\textit{Bucerius} hat zur genäherten Lösung von Randwertproblemen (Astron. Nachr. 265 (1938), 144-158; 266 (1938), 49-62; 267 (1938), 253-272; 270 (1940), 66-73; F. d. M. \(64_{\text I}\), 414; \(64_{\text{II}}\), 1121, 1122; 66) ein Verfahren entwickelt, das hier an der Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ \ddot x = f(t, x, \dot x)\quad \text{mit den Randbedingungen} \quad x(0) = x (a) = 0 \] erläutert wird. Bucerius benutzt einfach die entsprechende Integralgleichung \[ x(t)=\int\limits_0^a G(t,s)f(x, x(s), \dot x(s)) ds, \] entwickelt die Lösung in eine Fourierreihe und bricht diese mit dem \(m\)-ten Gliede ab. Einsetzen in die Integralgleichung gibt dann \(m\) Gleichungen für die Fourierkoeffizienten. Verf. weist nun nach, daß, falls \(\dot x\) explizit in der Gleichung nicht auftritt, das Ritzsche Verfahren die gleiche Näherungslösung gibt, wie das von Bucerius. Tritt \(\dot x\) explizit auf, liefern Ritzsches Verfahren und Integralgleichungsverfahren im allgemeinen verschiedene Lösungen, wie auch an einem Beispiel gezeigt wird. Verf. sagt am Schluß, daß das Ritzsche Verfahren nicht immer verwendbar sei, daß dann aber eine formale Übertragung der Ritzschen Gleichungen zu denselben Gleichungen führe, wie das Verfahren von Bucerius. In dem hier behandelten Fall der Gleichung zweiter Ordnung läßt sich diese immer als Eulersche Gleichung eines Variationsproblemes darstellen, wie z. B. \textit{Bolza}, Variationsrechnung (1909; F. d. M. 40, 428 (JFM 40.0428.*)) S. 37, bewiesen hat, ohne allerdings einen allgemein gangbaren Weg zu geben, die Funktion \(F (s, x, \dot x)\) herzustellen, deren Eulersche Gleichung die gegebene ist.