On the properties of a collective. (Q2587475)

\textit{Theorem A}. Im Falle einer Alternative im Sinne von v. Mises kann die Gesamtheit aller unendlichen Auswahlen interpretiert werden als ein Raum \(\mathfrak S\), in dem ein Lebesguesches Maß derart definiert ist, daß bei Erfülltsein des ersten Postulats von v. Mises nach Existenz der Grenzwerte der relativen Häufigkeiten in der Grundfolge das zweite Postulat nach Unveränderlichkeit dieser Grenzwerte in allen durch Auswahl entstandenen Teilfolgen in ganz \(\mathfrak S\) erfüllt ist mit Ausnahme einer Menge vom Maß Null. Dieses Theorem folgt aus folgendem \textit{Theorem B}: \(K\) sei eine unendliche Folge \(a_1, a_2,\ldots\) von Nullen und Einsen. Jedem \(K\) wird die reelle Zahl \(k=\sum\limits_{\nu=1}^\infty \dfrac{a_\nu}{2^\nu}\) zugeordnet. Die Auswahl \(S\) bestimme aus \(K\) die unendliche Folge \(a_{i_1},a_{i_2},\ldots\). \(S\) kann definiert werden durch eine Folge \(b_1, b_2,\ldots\), für die \(b_{i_\nu}=1\), alle übrigen \(b_\varrho=0\) gilt. Zu \(S\) gehört die Zahl \(s=\sum\dfrac{b_\nu}{2^\nu}\). Eine Gesamtheit \(\sum\) aus \(\mathfrak S\) heißt meßbar, wenn die Menge der zugeordneten Zahlen \(\sigma\) im Sinne von Lebesgue meßbar ist, und dieses Maß wird ihr zugeordnet. \(f_n(K)\) bzw. \(f_n\) (\(K\subset S\)) seien die relativen Häufigkeiten unter den ersten \(n\) Gliedern in \(K\) bzw. der durch \(S\) entstandenen Auswahlfolge. Dann gilt: Bedeutet \(F(K)\) die Menge der Häufungspunkte der Folge \(f_1(K), f_2 (K)\ldots\), dann gilt in \(\mathfrak S\) \[ F(K) = F(K\subset S) \] mit Ausnahme höchstens einer Punktmenge vom Maß 0. Die gleiche Behauptung gilt bei festgehaltenem S für fast alle \(K\).