On the time distribution of so-called random events. (Q2587490)

Aus einer Beobachtungsreihe eines seltenen Ereignisses greift Verf eine Zeitspanne \(D\) heraus, in die \(n\geqq 2\) Ereignisse fallen. Nun wählt er willkürlich ein Intervall zwischen zwei konsekutiven Ereignissen und stellt die Frage, mit weicher Wahrscheinlichkeit die Länge dieses Intervalls \(\geqq T\) ist. Die Antwort lautet: \[ P(\geqq T; n, D)=\left(1-\frac TD\right)^n, \] falls das Ereignis so selten ist, daß man die Approximation von Poisson benutzen darf. Ein gleichwertiges Resultat ist schon von \textit{W. Bothe} (Physik. Z. 37 (1936), 520-522; F. d. M. \(62_{\text{II}}\), 1344) angegeben worden. Bemerkt sei, daß man die Einschränkung fallen lassen kann. Trennt man aus einer Versuchsreihe willkürlich einen Abschnitt, bestehend aus \(N\) Versuchen, heraus, von denen \(n\geqq 2\) Treffer sind, und betrachtet zwei beliebige, aufeinanderfolgende Treffer, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß \(x\) oder mehr Nieten dazwischen liegen \[ P(\geqq x; n, N)=\binom{N-x}n:\binom Nn. \] Diese allgemeinere und dabei wesentlich einfacher herzuleitende Gleichung gilt, wenn das Schema von Bernoulli anwendbar ist.