Limiting distributions of quadratic and bilinear forms. (Q2587510)

Zunächst werden die Theoreme von Laplace-Liapounoff (mit der Bedingung von Lindeberg) und Fubini in Vektorform vorangestellt. -Seien dann \(X_1\), \(X_2\), \dots, \(X_n\), \dots \(p\)-dimensionale stochastische Vektoren, und zwar habe \(X_\mu\) die Komponenten \(x_{1\mu}\), \dots, \(x_{p\mu}\) (\(\mu=1\), 2, \dots, \(n\)). Die stochastische Matrix \(Y_n=\| y_{i\gamma n}\|\) (\(i=1\), \dots, \(p\); \(\gamma=1\), \dots, \(m\geqq p\), \(\geqq m\)) sei mittels der Matrix \(C_n=\|c_{\gamma\nu n}\|\) definiert durch \[ y_{i\gamma n}=\sum_{\nu=1}^n c_{\gamma\nu n}x_{i\nu}. \] Ihre Verteilungsfunktion sei \(F(Y_n)\). \(N(y_{1\gamma},\ldots,y_{p\gamma};\,(\sigma))\) sei die Gaußsche Verteilung mit der Dichte \[ N_d(y_{1\gamma},\ldots,y_{p\gamma};\,(\sigma))= (2\pi \sigma)^{-\frac 12}\exp[-\tfrac 12 \sum_{i,j}\sigma^{ij}y_{i\gamma}y_{j\gamma}], \] wo die Matrix \(\|\sigma^{ij}\|\) die Reziproke der positiv definiten Matrix \((\sigma)=\|\sigma^{ij}\|\) mit der Determinante \(\sigma\) ist. -- \textit{Bedingung} \(\mathfrak K_p\): Es sei \(\mathfrak E(x_{i\nu})=0\) und \(\mathfrak E(x_{i\nu}, x_{j\mu})=\sigma_{ij}\delta_{\mu\nu}\) mit \(\delta_{\mu\nu}=1\) für \(\mu=\nu\) und \(\delta_{\mu\nu}=0\) für \(\mu\neq \nu\); ferner mögen die \(x_{i\nu}\) der Lindebergschen Bedingung genügen. -- \textit{Bedingung} \(\mathfrak C\): Es gelte für alle \(n\): \(\sum\limits_{\nu=1}^n c_{\gamma \nu n}c_{\delta \nu n}=\delta_{\gamma\delta}\). - \noindent \textit{Corollar I}. Unter den Bedingungen \(\mathfrak K_p\) und \(\mathfrak C\) ist \(\lim\limits_{n\to \infty}d_n=0\) hinreichend dafür, daß \[ \lim_{n\to \infty}F(Y_n)=\prod_\gamma N(y_{1\gamma},\ldots,y_{p\gamma};(\sigma)) \] gilt, wenn \(d_n\) den größten der Absolutbeträge der Elemente von \(C_n\) bezeichnet. - \noindent \textit{Corollar II}: Gilt \(\mathfrak K_p\), \(\lim\limits_{n\to \infty}d_n=0\) und \(\lim\limits_{n\to \infty} \varrho_{\gamma\delta n} =\varrho_{\gamma\delta}\), \(\varrho_{\gamma\gamma}=1\), so existiert \(\lim\limits_{n\to \infty} F(Y_n)=F(Y)\); die Grenzverteilung wird angegeben. Es folgen zwei weitere Corollare. Sodann werden mit Hilfe dieser Sätze Theoreme der folgenden Art abgeleitet: Für jedes Wertsystem \(i\), \(j\), \(n\) wird die Bilinearform \[ b_{ij}^n=\sum_{\mu,\nu}a_{\mu\nu n}x_{i\mu}x_{j\nu} \] (\(i\), \(j=1\), \dots, \(p\); \(\mu\), \(\nu=1\), \dots, \(n\)) gebildet; die Matrix dieser Bilinearformen heiße \(A^{(n)}\), \(b_n\) sei der größte der Absolutbeträge ihrer Elemente. Es existiere eine Orthogonaltransformation \(y_{i\mu n}=\sum\limits_\nu c_{\mu\nu n}x_{i\nu}\), derart, daß \(b_{ij}^n=\sum\limits_\delta \lambda_\delta y_{i\delta n}y_{j\delta n}\) wird mit nichtnegativen Koeffizienten \(\lambda_\delta\). -\textit{Theorem III}: Bei Gültigkeit von \(\mathfrak K_p\) ist \(\lim\limits_{n\to\infty} b_n=0\) hinreichend dafür, daß \[ \lim_{n\to \infty} F(Y_n)=\prod_\gamma N(y_{1\gamma}, \ldots, y_{p\gamma};(\sigma)) \] gilt. -- Auch diese Bedingungen lassen sich weiter verändern. Den Schluß bildet die Anwendung auf einige Beispiele. So wird unter anderem die Grenzverteilung des Regressionskoeffizienten \[ r_{ij} = \frac{\sum\limits_\nu x_{i\nu}x_{j\nu}}{\sum\limits_\nu x_{i\nu}^2} \] betrachtet.