Regularity properties of certain families of chance variables. (Q2587516)

\(\{x_t\}\) sei eine Gesamtheit stochastischer Veränderlicher. Wenn für den durch Kenntnis der Werte \(x_{t_1}\), \dots, \(x_{t_n}\) bedingten Erwartungswert von \(x_{t_{n+1}}\) \[ \mathfrak E[x_{t_1},\ldots, x_{t_n}; \;x_{t_{n+1}}]=x_{t_n} \quad (t_1<\cdots <t_{n+1}) \] mit der Wahrscheinlichkeit 1 gilt, so wird gesagt, die \(\{x_t\}\) haben die Eigenschaft \(E\). tlber solche Gesamtheiten mit der Eigenschaft \(E\) werden einige einleitende Bemerkungen gemacht. Sodann werden unter der Einschränkung, daß \(t\) nur ganzzahlige Werte durchläuft, Konvergenzeigenschaften solcher Folgen stochastischer Veränderlicher untersucht. Als Beispiel dieser Sätze sei \textit{Theorem} 1, 3 angegeben: \(x_1\), \(x_2\), \dots sei eine Folge stochastischer Veränderlicher mit der Eigenschaft \(E\). Dann ist \(\mathfrak E|x_1|\leqq \mathfrak E|x_2|\leqq \cdots \). Gilt \(\lim\limits_{n\to \infty}\mathfrak E |x_n|=l < \infty\), so existiert \(\lim\limits_{n\to \infty}x_n=x\) mit der Wahrscheinlichkeit 1, und es folgt \(\mathfrak E|x|\leqq l\). Sind die \(x_i\) gleichmäßig integrabel, so existiert \(\lim\limits_{n\to \infty} x_n=x\) mit der Wahrscheinlichkeit 1, und die Folge der stochastischen Veränderlichen \(x_1\), \(x_2\), \dots, \(x\) hat die Eigenschaft \(E\). Derartige Untersuchungen werden ausgedehnt auf den Fall, daß \(t\) alle reellen Zahlen durchläuft, nachdem zuvor -- in größerer Allgemeinheit -- Begriffe wie Stetigkeit, Beschränktheit usw. eingeführt und studiert wurden.