Sur l'ensemble de puissances d'une loi de probabilité. (Q2587519)

In C. R. Acad. Sci., Paris, 206 (1938); 306-308, 718-720 (JFM 64.0533.04) angekündigte Ergebnisse beweisend, werden Betrachtungen von \textit{P. Lévy} und \textit{A. Khintchine} wie folgt ergänzt: Sei \(L\) ein (eigentliches) Verteilungsgesetz einer gemäß \(F(x)\) verteilten Veränderlichen \(x\) und \(m(\omega)=\int\limits_{-\omega}^\omega x^2\,dF(x)\). Werden die so zu \(a^2x+b\) gehörenden Gesetze zu einer Klasse \(K[L]\) zusammengefaßt und die Konvergenz \(K[L_n] \to K[L]\) einer Folge von Klassen gegen eine Grenzklasse durch \(L_n\to L\) festgesetzt, so können die Begriffe: Abgeleitete \(\mathfrak M'\) einer Menge \(\mathfrak M\) von Klassen, Abgeschlossenheit, sowie gewöhnliche und starke (d. h. bei \(\mathfrak M\) und \(\mathfrak M'\) gleichzeitig bestehende) Kompaktheit unmittelbar festgelegt werden. So werden nun die zu den Potenzen \(L^n\) eines Gesetzes gehörige Klassenmenge \(\mathfrak P[L]\) sowie ihre Abgeleitete \(\mathfrak P'[L]\) betrachtet, und zwar bei \(\lim\limits_{\omega \to \infty} m(\omega)=\infty\), da sonst \(K[L^n]\) bekanntlich gegen die Klasse \(K[G]\) des Gaußschen Gesetzes \(G\) strebt. Während bisher nur bekannt war, daß \(\mathfrak P'[L]\) ausschließlich aus \textit{unbeschränkt} teilbaren Gesetzen \(U\) bestehen kann, wird nun für konvergente \(K[L^{n_p}]\) die charakteristische Funktion eines zur Grenzklasse gehörenden Gesetzes selbst angegeben, und es werden notwendige bzw. notwendige und hinreichende Bedingungen dafür angeführt, daß \(\mathfrak P'[L]\) ein von \(G\) verschiedenes \(U\) bzw. \(L\) selbst enthalten soll. Für \(K[G]\subset \mathfrak P'[L]\) speziell oder für \(K[L^n]\to K[G]\) ergibt sich einfach \[ \lim_{\omega\to\infty}\omega^2[1-F(\omega+0)+F(\omega-0)] /m(\omega)=0 \] als notwendig und hinreichend. Der bekannte Satz, daß die Grenzklasse von \(K[L^n]\) nur jene des Gaußschen oder eines fast stabilen Gesetzes sein kann, wird dahin verschärft, daß für den zweiten Fall mit \(x^\alpha F(-x)=h_1(x)\) und \(x^\alpha[1-F(x)]=h_2(x)\) die Bedingung \(h_i(kx)/h_i(x)\to 1\) für jedes \(k\) und die Existenz von \(\lim h_1(h_2+h_2)^{-1}\) bei \(x\to \infty\) sich als notwendig und hinreichend erweist. Nachdem die Feststellung von \textit{Khintchine}: jedes vorgegebene \(U\) ist bei geeignetem \(L\) in \(\mathfrak P'[L]\) enthalten, durch Angabe eines für alle \(U\) \textit{universell} geltenden \(L\) übertroffen wird, schließt die Arbeit mit notwendigen bzw. notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß \(\mathfrak P'[L]\) leer, gewöhnlich oder stark kompakt sei, sowie mit der Feststellung, daß \(\mathfrak P'[L]\) kein bzw. mindestens ein unstetiges Gesetz enthält, je nachdem \(\mathfrak P'[L]\) selbst oder nur \(\mathfrak P[L]\) kompakt ist.