Nouvelles applications des grandeurs aléatoires presqu'indépendantes. (Q2587537)

Eingangs beweist Verf. die folgende Verallgemeinerung des ersten Fundamentalsatzes der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf den Fall abhängiger Summanden, die er früher (Math. Ann., Berlin, 97 (1926), 1-59; F. d. M. 52, 517 (JFM 52.0517.*)) unter weniger allgemeinen Voraussetzungen abgeleitet hatte. Sei \(S_n=u_1+u_2+\cdots + u_n\), \(E(u_i)=0\), \(E(u_i^2)=b_i\), \(E(S_n^2)=B_n\). \(a_i\) sei der bedingte Erwartungswert von \(u_i\) bei vorgegebenen \(u_1\), \(u_2\), \dots, \(u_{i-1}\), \(B_i^*\) die bedingte Streuung von \(u_i\) und \(c_i\) das Maximum des bedingten Erwartungswertes von \(|u_i|^3\) bei willkürlich vorgegebenen \(u_1\), \(u_2\), \dots, \(u_{i-1}\). Sind dann die drei Bedingungen \[ \frac{E(\sum\limits_1^na_i)^2}{B_n} \to 0, \quad \frac{E(\sum\limits_1^n|b_i-b_i^*|)}{B_n} \to 0, \quad \frac{\sum\limits_1^nc_i}{B_n^{\frac 32}} \to 0 \tag{1} \] erfüllt, wobei die letzte durch eine Liapounoffsche Bedingung ersetzt werden kann, so hat die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung \(S_n< z\sqrt{B_n}\) den Grenzwert \[ \frac 1{\sqrt {2\pi}}\int\limits_{-\infty}^z e^{-\tfrac{z^2}2}\,dz. \] Die Größen \(u_i\) nennt Verf. ``durch eine Abhängigkeit erster Ordnung verbunden'', wenn sie die erste der drei Bedingungen (1) erfüllen, ``normal'', wenn sie die dritte Bedingung (1) (oder eine Liapounoffsche Bedingung) erfüllen (so im russischen Text; im französischen ``Résumé'' ist eine abweichende Definition gegeben). Mit diesen Bezeichnungen gilt der im Mittelpunkt der Abhandlung stehende Satz: Damit der erste Fundamentalsatz auf die Summe \(\sum\limits_1^n u_i\) von normalen, durch eine Abhängigkeit erster Ordnung verbundenen Größen anwendbar ist, ist notwendig und hinreichend, daß die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung \[ \left|\frac {\sum\limits_1^n b_k^*}{B_n}-1\right|<\varepsilon \] bei \(n\to \infty\) den Grenzwert 1 hat, wie klein auch \(\varepsilon > 0\) vorgegeben ist. Mit dem Beweis dieses Satzes hängt der folgende zusammen: Wenn die normalen Größen \(u_i\) durch eine Abhängigkeit erster Ordnung verbunden sind, so strebt die Wahrscheinlichkeit \(F_n(t)\) der Ungleichung \[ S_n<t\sqrt{B_n} \] dann und nur dann gegen einen bestimmten Grenzwert \(F(t)\), wenn die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung \[ \frac{\sum\limits_1^n b_k^*}{B_n}<\sigma \quad (\sigma \geqq 0) \] gegen einen bestimmten Grenzwert \(h(\sigma)\) strebt. Dabei ist \[ F'(t)=\int\limits_0^\infty \frac{e^{-\tfrac{t^2}{2\sigma}}}{\sqrt{2\pi\sigma}}\,dh(\sigma) \] und \[ F(+0)-F(-0)=h(+0). \] Abschließend zeigt Verf., daß die Verteilung von \(\dfrac{S_n}{\sqrt {B_n}}\) mit \(n\to \infty\) gegen jedes beliebige Verteilungsgesetz streben kann, wenn die \(u_i\) entweder nicht normal oder nicht durch eine Abhängigkeit erster Ordnung verbunden sind.