Sur l'équivalent hydrodynamique d'un corpuscule aléatoire. Application à l'établissement des équations aux valeurs probables d'un fluide turbulent. (Q2587552)

Die Arbeit enthält Anwendungen der Gleichungen, die Verf. in vorstehend besprochener Note hergeleitet haben. Die gleichzeitige Verteilung von \(X\), \(Y\), \(Z\), nämlich \(\varrho(x,y,z,t)\), und ebendiese von \(X\), \(Y\), \(Z\), \(\dot X\), \(\dot Y\), \(\dot Z\), bezeichnet mit \(F(x,y,z,u,v,w,t)\), müssen folgenden partiellen Differentialgleichungen genügen: \[ (1) \quad \frac{\partial \varrho}{\partial t} +S\frac{\partial}{\partial x}(u_1\varrho)=0; \qquad (2) \quad \frac{\partial F}{\partial t} +Su_1\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial u}(\alpha_2F)=0. \] \(S\) bedeutet die Summierung entsprechender Ausdrücke in \(x\), \(y\), \(z\), \(u_1\) den über \(x\), \(y\), \(z\) gebildeten Durchschnitt von \(\dot X\), \(\alpha_2\) den über \(x\), \(y\), \(z\), \(u\), \(v\), \(w\) gebildeten Durchschnitt von \(\ddot X\). (1) ist nichts anderes als die Kontinuitätsgleichung einer Flüssigkeit der Dichte \(\varrho(x,y,z,t)\), deren Geschwindigkeit in jedem Punkte die Komponenten \(u_1(x,y,z,t)\), \(v_1(x,y,z,t)\), \(w_1(x,y,z,t)\) aufweist, wobei z. B. \(v_1\) der über \(x\), \(y\), \(z\) genommene Durchschnitt von Y ist. Diese Bemerkung überträgt sich auf (2), wenn man eine äquivalente Flüssigkeit (Wahrscheinlichkeitsstrom) in einem Raum von sechs Dimensionen \(z\), \(y\), \(z\), \(u\), \(v\), \(w\) ins Auge faßt, deren Geschwindigkeitskomponenten in jedem Punkte jetzt \(u\), \(v\), \(w\), \(\alpha_2\), \(\beta_2\), \(\gamma_2\) lauten. In gleicher Weise kann man für den Wahrscheinlichkeitsstrom die Gleichungen der Bewegung und der Energie erhalten, welche der klassischen Hydrodynamik entsprechen, wenn man von einer verallgemeinerten Transportgleichung ausgeht, die sich auf eine beliebige nichtstochastische Funktion \(a(X,Y,Z,\dot X, \dot Y, \dot Z, t)\) bezieht. Es sei \(a_0\) der über \(x\), \(y\), \(z\) gebildete Durchschnitt von \(a\), ferner \(a'=a-a_0\), \(u'=u-u_0\), \(\alpha'=\alpha-\alpha_0\) usw. (Komponenten der Bewegung). Dann erhält man die Transportgleichung in der Form \[ \varrho\left[\frac{da'}{dt}\right]= S\frac{\partial}{\partial x}(\varrho[a'u']), \] wobei \([p]\) den über \(x\), \(y\), \(z\) gebildeten Durchschnitt von \(p\) bedeutet. Für \(a=1\) erhalten wir die Kontinuitätsgleichung (1). Setzen wir nacheinander \(a=u\), \(a=v\), \(a=w\), so bekommen wir die Bewegungsgleichung \[ \frac{\partial u_0}{\partial t} +Su_0\frac{\partial u_0}{\partial x}=\alpha_0-\frac 1\varrho \left\{\frac{\partial}{\partial x}(\varrho[u'{}^2])+\frac{\partial}{\partial y} (\varrho[u'v'])+\frac{\partial }{\partial z} (\varrho[u'w'])\right\}, \] und zwei entsprechende. Die Energiegleichung ergibt sich für \(a=\frac 12(u^2+ v^2+w^2)\). Andere Beziehungen (z. B. für \(a=uv\)) dienen dazu, die Bewegungen einer turbulenten Flüssigkeit zu studieren. Man vergleiche darüber eine Note der Verf. (C. R. Acad. Sci., Paris, 206 (1938), 1790-1792; JFM 64.0876.*).