On a problem concerning probability and its connection with the theory of diffusion. (Q2587553)

In unendlich vielen Kästchen mit den Nummern \dots, \(-3\), \(-2\), \(-1\), 0, 1, 2, 3, \dots mögen \(N\) Kugeln verteilt liegen. Aus den Zahlen \(-N\), \dots, \(-1\), 1, \dots, \(N\) möge blindlings eine herausgegriffen werden, etwa die Zahl \(k\); dann werde die Kugel mit der Nummer \(|k|\) aus ihrem Kästchen in das rechts oder links benachbarte Kästchen gelegt, je nachdem ob sgn \(k=+1\) oder \(= -1\) ist. Dieser Prozeß wird \(n\)-mal wiederholt. Es wird der Erwartungswert der Konzentration (= relativen Häufigkeit) der Kugeln im Kästchen mit der Nummer \(s\) berechnet. In diesen Ausdruck geht die folgende Funktion \(f(x)\) ein: Das Intervall (0,1) wird in \(N\) gleiche Teile geteilt; dann wird in \((0,1)\) \(f(x)=s\) gesetzt für \(\dfrac{l-1}N<x\leqq \frac lN\), wenn die Kugel der Nummer l ursprünglich im Kästchen \(s\) liegt. Sodann wird folgender Grenzübergang vollzogen: Die Kästchen seien gleichmäßig auf der Zahlengeraden im gegenseitigen Abstand \(\lambda\) verteilt, alle \(\tau\) Sekunden werde einmal der oben geschilderte Prozeß vorgenommen; es sei \(t=n\cdot\tau\). Beim Grenzübergang \(N\to \infty\), \(\lambda\to 0\), \(\frac{\lambda^2}{N\tau}\to 2k\) wird der Erwartungswert der Konzentrationsdichte der Kugeln an der Stelle \(l\) gleich \[ \frac 1{2(\pi kt)^{\frac 12}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-\tfrac{(u-l)^2}{4kt}}\,d\sigma(u); \] dabei ist angenommen, daß die Verteilung von \(\lambda f(x)\) gegen eine Verteilung \(\sigma(u)\) strebt. Das ist die klassische Lösung der Differentialgleichung der Diffusion im Falle eines unendlichen Zylinders.