Le mouvement brownien plan. (Q2587554)

Gegenstand der Arbeit ist die idealisierte (mittlere freie Weglänge = Null) Brownsche Bewegung auf der Geraden und in der Ebene. Die Verschiebung \(x(t+h)-x(t)\) im Zeitintervall \((t,t+h)\) ist eine normalverteilte zufällige Größe mit dem Mittelwert Null und der Streuung \(\sqrt h\). Die Verschiebungen in punktfremden Zeitintervallen sind statistisch unabhängig. Dies bezieht sich auf die geradlinige Bewegung. Bei der Bewegung in der \((x,y)\)-Ebene tritt die Forderung hinzu, daß die Normalverteilung für die vektorielle Verschiebung richtungsunabhängig sei. Hauptthema der Arbeit sind Definition und Eigenschaften gewisser Integrale \[ B=\int\limits_0^1[dx(t)]^2, \quad S=\int\limits_0^1 y(t)\,dx(t)-\tfrac 12x(1)y(1), \] \(x(0)=y(0)=0\). \(S\) ist der Flächeninhalt zwischen Bahnkurve und Sehne im Zeitintervall \((0,1)\). Verf. definiert diese Integrale für feste \(x(t)\), \(y(t)\) durch Grenzübergang aus entsprechenden Summen. In der Einteilung des Zeitintervalles betrachtet aber Verf. die Teilungspunkte als zufällige Größen. Die Integrale werden dann im Sinne fast sicherer Konvergenz aufgefaßt. Verf. beweist, daß \(B\) und \(S\) in diesem Sinne für fast alle Bewegungen \(x(t)\), \(y(t)\) existieren. Es stellt sich heraus, daß \(B\) fast stets gleich seinem Mittelwert Eins ist (Streuungsquadrat von \(x(1)-x(0)\)). \(S\) ist hingegen variabel; das Verteilungsgesetz für \(S\) und die Sehnenlänge \(L\) sind durch eine elliptische Differentialgleichung und durch Randbedingungen eindeutig festgelegt. Verf. beweist noch, daß fast jede Bahnkurve eine Menge vom Flächenmaß Null darstellt.