On the theory of stationary random processes. (Q2587567)

Nach \textit{Khintchine} (Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse, Math. Ann., Berlin, 109 (1934), 604-615; JFM 60.0466.*) ist durch eine stochastische Veränderliche \(X(t)\) ein eindimensionaler stochastischer Prozeß definiert, wenn es eine Verteilung \(F(x_1,\ldots,x_k;t_1,\ldots,t_k)\) für jeden endlichen Wert von \(k\) gibt derart, daß \(F\) die Wahrscheinlichkeit der Ungleichungen \(X(t_\nu)\leqq x_\nu\) (\(\nu=1\), 2, \dots, \(k\)) darstellt. Dabei sei die Bedingung \[ F(x_1,\ldots,x_j,\infty,\ldots,\infty;t_1,\ldots,t_k) =F(x_1,\ldots,x_j;t_1,\ldots,t_j) \] für jedes \(j < k\) erfüllt. Diese Definition wird auf einen \(n\)-dimensionalen stochastischen Prozeß ausgedehnt, dem die \(n\)-dimensionale Veränderliche \(Z(t)=\{X_1(t),\ldots,X_n(t)\}\) als Basis zugrundeliegt. Die Verteilungsfunktion der Veränderlichen \(Z(t_1)\), \dots, \(Z(t_k)\) ist dann im Raum von \(n\cdot k\) Dimensionen zu definieren und gibt die Wahrscheinlichkeit der Ungleichungen \[ X_\mu(t_\nu)\leqq x_{\mu\nu} \quad (\mu=1, \ldots,n; \;\nu = 1, \ldots, k) \] an. Eine weitere Verallgemeinerung ist die Annahme eines komplexen \(Z(t)\), d. h. es ist \[ X_\mu(t)=U_\mu(t)+iV_\mu(t); \] die Verteilung liefert dann also die Wahrscheinlichkeit der Ungleichungen \[ U_\mu(t_\nu)\leqq u_{\mu\nu}, \quad V_\mu(t_\nu)\leqq v_{\mu\nu}. \] In Verallgemeinerung der von Khintchine eingeführten Bezeichnungen heißt ein durch \(Z(t)\) bestimmter stochastischer Prozeß \textit{stationär}, wenn \[ \begin{aligned} &\mathfrak E\{X_\mu(t)\} = m_\mu \quad \text{unabhängig ist von} \;t; \tag{A} \\ &\mathfrak E\{X_\mu(t)\overline{X_\nu(u)}\}=R_{\mu\nu}(t-u) \tag{B} \end{aligned} \] nur von der Differenz \(t-u\) abhängt. -- Verf. setzt weiter noch voraus: \[ \mathfrak E\{X_\mu(t)\} = m_\mu=0 \quad, \mathfrak E\{|X_\mu(t)|^2\}= R_{\mu\mu}(0)=\sigma_\mu^2>0, \tag{C} \] was keine Einschränkung bedeutet, sowie \[ \lim_{t\to 0}R_{\mu\mu}(t)=R_{\mu\mu}(0)=\sigma_\mu^2. \tag{D} \] Nach einigen Hilfsbetrachtungen werden fünf Theoreme abgeleitet: \textit{Theorem} 1: a) Für reelle Werte von \(t\) lassen sich die Korrelationsfunktionen \(R_{\mu\nu}(t)\) als Fourier-Stieltjes-Integrale \[ R_{\mu\nu}=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{itx}dF_{\mu\nu}(x) \tag{1} \] darstellen, wo die \(F_{\mu\nu}(x)\) von beschränkter Schwankung sind. \[ H(z_1,\ldots,z_n)=\sum_{\mu,\nu=1}^nz_\mu\bar z_\nu(F_{\mu\nu}(\beta) -F_{\mu\nu}(\alpha)) \tag{2} \] ist für jedes Intervall \((\alpha,\beta)\) eine nichtnegative Hermitesche Form. -- b) Sind umgekehrt die \(R_{\mu\nu}(t)\) in der Form (1) gegeben, und ist für jedes Intervall \((\alpha,\beta)\) (2) eine nichtnegative Hermitesche Form, dann sind die \(R_{\mu\nu}(t)\) als Korrelationsfunktionen eines \(n\)-dimensionalen stationären stochastischen Prozesses auffaßbar. Die Theoreme 2 und 3 schließen sich an die Zerlegung der \(F_{\mu\nu}(x)\) in ihre stetigen, unstetigen und singulären Komponenten an. Im Fall von zwei reellen stochastischen Veränderlichen führt Theorem 4 die Rechnungen im einzelnen durch. Theorem 5 überträgt die Resultate des Theorems 1 auf den Fall, daß \(t\) nur die positiven und negativen ganzen Zahlen durchläuft.