Estimates of parameters by means of least squares. (Q2587601)

Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate zur Bestimmung der besten Schätzung eines unbekannten Parameters einer Verteilung. Sei \(x\) eine Zufallsvariable von bekannter Verteilung, \(\theta\) ein unbekannter Parameter derselben; ferner \(F(x_1,\ldots, x_n)\) eine Schätzung des Parameters \(\theta\) aus \(n\) beobachteten \(x\)-Werten \(x_1,\ldots,x_n\) und \(f(F)\) die aus der \(x\)-Verteilung ableitbare bekannte Verteilung derselben. Verf. nennt dann die Schätzung \(F_1\) mit der Verteilung \(f_1(F_1)\) besser als die in denselben Grenzen \(\alpha\), \(\beta\) variierende Schätzung \(F_2\) mit der Verteilung \(f_2(F_2)\), wenn \[ \int\limits_{\alpha}^{\beta} (x-\theta)^2 \cdot f_1(x)\,dx < \int\limits_{\alpha}^{\beta} (x-\theta)^2 \cdot f_2(x)\,dx \] ist, und die Schätzung \(F\) die beste Schätzung innerhalb einer Klasse möglicher Schätzungen, wenn innerhalb dieser Funktionenklasse \[ I = \int\limits_{\alpha}^{\beta} (F-\theta)^2 f(F)\,dF \] am kleinsten ist. Die Theorie wird auf die Aufgabe, beste Schätzungen für Mittelwert \(\overline{x}\) und Streuung \(\sigma^2\) einer Normalverteilung zu bestimmen, angewendet. Für den Mittelwert \(\overline{x}\) erhält Verf. in der Klasse aller Schätzungen der Form \[ F=a(x_1+x_2+\cdots+x_n) \] als beste Schätzung diejenige mit \[ a=\dfrac{\overline{x}^2}{n\overline{x}^2 + \sigma^2}, \] also eine von dem unbekannten Parameter \(\overline{x}\) selbst abhängende Schätzung. Für die Streuung dagegen ergibt sich in der Funktionenklasse \[ F = a\cdot \{(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \cdots + (x_n-\overline{x})^2\} \] als beste Schätzung diejenige mit \(a=1/(n+1)\).