On the non-existence of tests of ``Student's'' hypothesis having power functions independent of \(\sigma\). (Q2587626)

Es soll die Hypothese \(H_0\) geprüft werden, das arithmetische Mittel des Kollektivs, aus dem eine \(n\)-gliedrige Stichprobe entnommen ist, habe den Wert \(\xi=\xi_0\), wobei positive und negative Abweichungen zum Vergleich zugelassen werden. Man setzt \(t = \dfrac{(\overline{x}-\xi_0)\sqrt{n-1}}{\sqrt{\sum\limits_{i=n}^{n}(x_i-\overline{x})^2}}\) und geht damit in Fishers Tafeln ein. Bezeichnet man mit \(\beta\) di Wahrscheinlichkeit, die Hypothese \(H_0\) zu verwerfen, obwohl sie richtig ist, so hängt diese von \textit{J. Neyman}, \textit{B. Tokarska} (J. Amer. statist. Assoc. 31, (1936), 318-326; JFM 62.1345.*) tabulierte Leistungsfunktion \(\beta\) außer von \(n\) und \(\xi\) auch noch von der unbekannten wahren Streuung \(\sigma^2\) ab. Bei der Planung eines neuen Experimentes hat man von der Größe von \(\sigma^2\) höchstens eine rohe Vorstellung. Man kann also aus den Tafeln für \(\beta(n;\xi,\sigma^2)\) nicht genau im voraus sagen, wie groß man \(n\) zu wählen hat, um mit einer bestimmten Sicherheit zu erreichen, daß eine Abweichung, wenn sie besteht, entdeckt wird. Verf. legt sich die Frage vor, ob es eine Probe für die Richtigkeit von \(H_0\) geben kann, deren Leistungsfunktion \(\beta\) unabhängig von \(\sigma^2\) ist. Das ist nur dann denkbar, wenn \(\beta\) auch von \(\xi\) frei ist, somit als Probe wirkungslos wird. Es besteht daher keine Möglichkeit, die Abhängigkeit der Leistungsfunktion \(\beta\) von der unbekannten Streuung \(\sigma^2\) auszuschalten.