Significance test for sphericity of a normal \(n\)-variate distribution. (Q2587634)

An \(N\) Objekten werden \(n\) Merkmale gemessen, so daß \(nN\) Beobachtungen \(x_{i\alpha}\), \(i = 1, 2,\ldots,n\); \(\alpha = 1, 2,\ldots, N\) zur Verfügung stehen. Geprüft soll werden, ob das zugrunde liegende Kollektiv sphärisch ist, d. h. ob alle \(n\) wahren Streuungen übereinstimmen und alle wahren Korrelationen zwischen den Merkmalen verschwinden. Nach der Methode der optimalen Schätzung bildet Verf. die Kennzahl \[ L_{sn} = \dfrac{\left|\dfrac{1}{N}\sum\limits_{\alpha=1}^N(x_{i\alpha}-\overline{x}_i) (x_{j\alpha}-\overline{x}_j)\right|^{\tfrac12}}{\left[\dfrac{1}{nN} \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{\alpha=1}^N (x_{i\alpha}-\overline{x}_i)^2\right|^{\tfrac{1}{2n}}}. \] Es gelingt ihm, alle Momente von \(L_{sn}\) anzugeben. Für \(n = 2\) findet er auch die strenge Verteilung von \(L_{s2}\). Aber schon für \(n = 3\) ist ihm das nicht mehr möglich. Er wählt zur Anpassung eine Pearsonkurve vom Typ I und teilt in einer Tabelle für die Chancen 5, 1, 0{,}1\(\%\) die Grenzen für die signifikanten Abweichungen für verschiedene Werte von \(N\) mit.