A note on the chi-square test, the Poisson and the binomial. (Q2587642)

Verf., ein temperamentvoller, statistisch interessierter Arzt, zählt in einem Hämozytometer mit 400 Quadraten 5 Präparate aus, so daß er \(5\times 400 = 2000\) Beobachtungen erhält. Es handelt sich um eine Aufteilung der insgesamt beobachteten Zellen auf die 400 Quadrate. Bei freiem Spiel des Zufalls ist das Gesetz solcher Aufteilungen bekannt. Für den vorliegenden Fall hat nun ``\textit{Student}'' in einer klassischen Arbeit (Biometrika 5 (1906), 351-360) gezeigt, daß man die Anzahl der auf die Quadrate entfallenden Zellen durch das Gesetz von Poisson beschreiben kann. Um die Güte der Anpassung zu beurteilen, hat er die \(\chi^2\)-Probe benutzt. Genau so geht Verf. jetzt vor, und er kann ebenfalls keine Abweichung vom Poissongesetz nachweisen. Er bemerkt aber, daß die Streuung in allen fünf Serien kleiner als der Mittelwert ausfällt, und schließt daraus, daß doch eine systematische Differenz vorhanden sein muß, eine Vermutung, die sich durch Heranziehen der Verteilung von \(\sum(x_i-\overline{x})^2/\overline{x}\) bestärkt. Er paßt seinem Material sodann eine Bernoulliverteilung mit richtigem Mittelwert und richtiger Streuung an und glaubt, damit eine bessere Beschreibung zu liefern, obwohl die Anzahl der so gefundenen Reihenglieder sachlich jeder Begründung entbehrt. Der Fall veranlaßt ihn, sich mechanisch 20000 Beobachtungen aus der Verteilung \((0,11 + 0,89)^{56}\) zu verschaffen und die Serien von je 2000 Stück daraufhin zu prüfen, ob sie Abweichungen vom Poissongesetz erkennen lassen. Er findet dabei eine Überlegenheit der \(\sum(x_i-\overline{x})^2/\overline{x}\)-Probe vor dem \(\chi^2\)-Verfahren. Dieses experimentelle Material aus bekannter Ausgangsverteilung ist für den Unterricht willkommen. Für das vorliegende Problem ist der echt amerikanische Aufwand aber schwer verständlich. Denn schließlich ist eine Poissonverteilung ja nur eine Approximation des Bernoulligesetzes, so daß eine Alternative Poisson \textit{oder} Bernoulli gar nicht entstehen kann. Es entspricht im übrigen vielfacher Erfahrung, daß die beobachteten Streuungen bei Poissonverteilungen kleiner ausfallen als der Mittelwert. Das liegt einfach daran, daß in einem beschränkten Material die denkbaren sehr starken positiven Abweichungen meistens noch nicht auftreten.