Rank correlation when there are equal variates. (Q2587675)

Sind \(N\) Zahlenpaare \((X_1,Y_1),\ldots, (X_N, Y_N)\), wobei alle \(N\) \ \(X\)-Werte unter sich sowie alle \(N\) \ \(Y\)-Werte unter sich verschieden sind, gegeben und \((x_1,y_1),\ldots, (x_N, y_N)\) die entsprechenden Paare von Rangzahlen, so ist bekanntlich die Rangkorrelation von \(X\), \(Y\), d. h. der Korrelationskoeffizient der Rangzahlen \(x\), \(y\), \[ \varrho = 1- \dfrac {6\,\sum _{i=1}^ND_i^2} {N\,(N^2-1)} \;\;\;\text{mit}\;\;\;D_i=x_i-y_i. \] Diese Gleichung gilt nicht mehr, sobald einige Werte der Variablen wiederholt auftreten, also etwa \(K\) \(X\)-Werte untereinander gleich sind, und wie üblich, sämtlichen \(K\) gleichen \(X\)-Werten eine mittlere Rangzahl, nämlich das arithmetische Mittel der im Falle der Verschiedenheit entsprechenden \(K\) Rangzahlen, zugeordnet wird. Statt dessen schlägt Verf. vor, den \(K\) gleichen \(X\)-Werten auf sämtliche \(K!\) möglichen Weisen die betreffenden \(K\) Rangzahlen zuzuordnen und den Rangkorrelationskoeffizienten \(\bar\varrho \) als arithmetisches Mittel der \(K!\) entsprechenden \(\varrho \)-Werte zu bestimmen. Ist \(\varrho _M\) der nach der obigen Gleichung gebildete \(\varrho \)-Wert im Falle der Methode der mittleren Rangzahl, so ist \[ \bar \varrho =\varrho _M - \sum \delta _{N,K_i} \quad \text{mit}\quad \delta _{N,K_i} = \frac {K_i\,(K_i^2-1)}{2N\,(N^2-1)}, \] wenn jeweils \(K_i\) \(X\)- oder \(Y\)-Werte untereinander gleich sind.