Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate bei gruppenweiser Anordnung der Beobachtungen. (Q2587705)

Der mittlere Fehler \(\mu _F\) einer Funktion \(F(z_1,z_2,\ldots, z_n)\) bestimmt sich bei Beobachtungen gleichen Gewichtes aus \[ \mu _F^2 = \mu ^2 \sum Q_{ij}\,\frac {\partial F}{\partial z_i} \cdot \frac {\partial F}{\partial z_j}, \] wo \(\mu \) der mittlere Fehler einer Beobachtung ist. Die \(Q_{ij}\) sind die Elemente einer Matrix, die reziprok zu der aus den Koeffizienten der Normalgleichungen gebildeten ist. Die Berechnung der \(Q_{ij}\) ist im allgemeinen umständlich. Die Fälle, in denen man, wie in dem hier behandelten Fall, die \(Q_{ij}\) explizit als Funktionen der in das Ausgleichs\-problem eingehenden Parameter bestimmen kann, sind besonders dann von Interesse, wenn man die Abhängigkeit des Gewichtes einer Funktion der Unbekannten von diesen Parametern beurteilen will. Verf. behandelt nun den Fall, daß \(n\) Gruppen von \(m\) Beobachtungen \(l_{i1},l_{i2},\ldots,l_{im}\) vorliegen und die Fehlergleichungen die Form \[ l_{is} +\lambda _{is} = k_i+\sum _{\nu =1}^r a_{s,\nu }\,z_{i+\nu -1}\qquad \left(\begin{matrix} \l\\ s=1,2,\ldots,m\\ i=1,2,\ldots,n \end{matrix}\right) \] mit \(z_{n+s} = z_s\) haben, und gibt einfache Methoden zur Berechnung der \(Q_{ij}\) an. Angenommen wird, daß \(m > r\), \(n > 2r - 2\) ist, und daß die aus den Koeffizienten der Fehlergleichungen gebildete Matrix von \(m\) Reihen und \(n\) Spalten den Rang \(r + 1\) hat. Nachdem mittels der ersten Normalgleichung die \(k_i\) eliminiert sind, ergibt sich für die \(Q_{ij}\) eine nicht homogene lineare Differenzengleichung. Die zugeordnete charakteristische Funktion hat keine Nullstelle auf dem Rande des Einheitskreises. Die Determinante der Gewichtsgleichungen kann durch die charakteristische Funktion ausgedrückt werden und ist von Null verschieden. In den sich als Lösung dieser Differenzengleichung ergebenden Ausdrücken für die \(Q_{ij}\), die für \(n\to\infty \) einem bestimmten Grenzwert zustreben, treten trigonometrische Funktionen auf. Es werden deshalb andere Ausdrücke für die \(Q_{ij}\) hergeleitet, die diese als Quotienten zweier Determinanten geben, wobei zur Reduktion der Ordnung dieser Determinanten ein System partikulärer Lösungen der homogenen Differenzengleichungen verwendet wird, die zu den oben benutzten inhomogenen gehören, und weiter der Umstand, daß die charakteristische Gleichung reziprok ist. Beziehungen zwischen den Elementen der in den verschiedenen Darstellungen auftretenden Determinanten werden hergeleitet, ferner Ausdrücke für diese Elemente unter Benutzung der als einfach angenommenen Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Im zweiten Teil wird dann ausführlich der Spezialfall behandelt, daß die Fehlergleichungen die Form \[ l_{ij} +\lambda _{ij} = k_i+z_j\qquad \left(\begin{matrix} \l\\ s=1,2,\ldots,m\\ i=1,2,\ldots,n \end{matrix}\right) \] haben. Da hier die Koeffizientendeterminante der Normalgleichungen Null ist, wird als Bedingungsgleichung \[ \sum _{\nu =1}^n z_\nu =0 \] hinzugenommen. Die Gewichte berechnen sich dann aus den Differenzengleichungen \[ (r - s)\,(Q_{i+s,j} +Q_{i-s,j}) - r\,(r - 1)\,Q_{ij} = \frac {r}{n} -r\eta _{ij} \] mit der Bedingung \(\sum _{i =1}^n Q_{ij} = 0\). Die zugehörige charakteristische Gleichung hat eine Doppelwurzel 1, während die übrigen Wurzeln alle einfach sind und einen von eins verschiedenen absoluten Betrag haben. Da die Determinante der Gewichtsgleichungen von Null verschieden ist, gilt das auch für die der Normalgleichungen. Durch Lösung der Differenzengleichung erhält man die \(Q_{ij}\), deren Grenzwert für \(n\to\infty \) jetzt aber nicht endlich ist. Diese \(Q_{ij}\) können entweder mittels einer Kettenbruchentwicklung oder mittels einer Klasse von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten bestimmt werden, oder können durch die Lösungen gewisser linearer homogener Differenzen\-gleichungen mit einfachen Anfangsbedingungen ausgedrückt werden. Am Schluß wird noch der Fall behandelt, daß man statt der obigen Bedingungsgleichung \(z_1=0\) setzt.