A note on the use of a Pearson type III function in renewal theory. (Q2587751)

Verf. gellt von der von \textit{A. J. Lotka} (Ann. math. Statist., Ann Arbor, 10 (1939), 1-25; F. d. M. 65, 631 (JFM 65.0631.*)) stammenden Zerlegung der Gesamterneuerungs\-funktion in Generationen aus; ist \(N\) der Umfang der Gruppe zu Beginn, \(f (x)\) die Sterblichkeitsintensität für das Alter \(x\), \(B_1(t)\) die Erneuerungsintensität der 1. Generation zur Zeit \(t\), \(B_2(t)\) die der 2. Generation usw., so gilt hiernach \[ \begin{matrix} \r&\,\l\\ B_1(t)&= Nf(t),\\ B_{j+1}(t) &= \int\limits _0^t B_j(t-x)\,f(x)\,dx\qquad (j\geqq 1) \end{matrix} \] und für die Gesamterneuerungsfunktion \(B (t)\) \[ B(t) = B_1(t)+ \int\limits _0^t B(t-x)\,f(x)\,dx. \] Unter der Annahme, daß \(f (x)\) eine Pearson-Typ III-Funktion \[ f(x)=\frac {c^k}{\varGamma (k)} \cdot x^{k-1} \cdot e^{-cx}\qquad (c>0,\;k>0) \] sei, erhält Verf. die Lösung \[ B(t)= N\,ce^{-ct}\,\Biggl\{ \frac {(ct)^{k-1}}{\varGamma (k)} + \frac {(ct)^{2k-1}}{\varGamma (2k)} + \cdots \Biggr\}, \] die sich mittels der von K. Pearson tabulierten unvollständigen Gammafunktion leicht auswerten läßt.